[Bài toán] Khai triển Abel

Bài toán : Cho các số thực $x,y,z$ mà $0<x<y\leq z\leq 1$ thỏa mãn $3x+2y+z\leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=3x^3+2y^3+z^3$

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh $3x^{2}+2y^{2}+z^2\leq \dfrac{10}{3}$

Thật vậy, theo khai triển $Abel$ , ta có :

$3x^{2}+2y^2+z^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+4x=x+2y+z=\dfrac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \dfrac{1}{3}\left ( 4+4+2 \right )=\dfrac{10}{3}$

Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :

$P=3x^{3}+2y^3+z^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x=(z-y)z^{2}+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\dfrac{10}{3}=\frac{1}{3}x+2y+z=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)=\dfrac{1}{9}\left [ (3x+2y+z)+(16y+8z) \right ]\leq \dfrac{1}{9}\left ( 4+16+8 \right )=\dfrac{28}{9}$

Kết luận : $MaxP=\dfrac{28}{9}\Leftrightarrow x=1/3,y=z=1$

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

[Bài toán] Khai triển Abel

One thought on “[Bài toán] Khai triển Abel”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

One thought on “[Bài toán] Khai triển Abel”

Leave a comment Cancel reply