Bài toán [Cực trị, BĐT AM-GM, BĐT C-S]

By

Bài toán : Cho ba số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của

P=\cfrac{1}{a+b+4}+\cfrac{1}{b+c+4}+\cfrac{1}{c+a+4}

Lời giải :

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 nên ta chứng minh :

\dfrac{1}{a+b+4}+\dfrac{1}{b+c+4}+\dfrac{1}{c+a+4}\leq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{a+b+4}+\dfrac{b+c}{b+c+4}+\dfrac{c+a}{c+a+4}\geq 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

VT\geq \dfrac{\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )^{2}}{2(a+b+c)+12}

Do vậy cần chứng minh :

\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )^{2}\geq 2(a+b+c)+12\Leftrightarrow \sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)}\geq 6

Điều này luôn đúng vì theo AM-GM :

\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)}\geq \sqrt{4\sqrt{ab^{2}c}}+\sqrt{4\sqrt{bc^{2}a}}+\sqrt{4\sqrt{ca^{2}b}}=2\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c} \right )\geq 2.3.\sqrt[3]{\sqrt[4]{abc}}=6

Kết luận :  MaxP=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1

One thought on “Bài toán [Cực trị, BĐT AM-GM, BĐT C-S]”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment