[Bài toán] Sử dụng khai triển Abel để chứng minh BĐT

By

Bài toán : Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn \left\{\begin{matrix} 0<a\leq b\leq c\leq d\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 3\\ \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 2 \end{matrix}\right.

Chứng minh rằng a^{4}+b^{4}+c^{4}-d^{4}\leq 17

Lời giải :

Ta đoán dấu bằng của bài toán bằng cách cho đẳng thức xảy ra tại các giả thiết : a=1,b=2,c=d.

Khi đó viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 1^{4}+2^{4}+d^{4}

Bằng bất đẳng thức Holder ta dễ thấy :

\dfrac{2^{4}}{b^{4}}+\dfrac{d^{4}}{c^{4}}\geq \dfrac{\left ( \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c} \right )}{8}^{4}\geq \dfrac{2^{4}}{8}=2

\dfrac{1}{a^{4}}+\dfrac{2^{4}}{b^{4}}+\dfrac{d^{4}}{c^{4}}\geq \dfrac{\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c} \right )}{27}^{4}\geq \dfrac{3^{4}}{27}=3

Theo khai triển Abel :

1^{4}+2^{4}+d^{4}=a^{4}.\dfrac{1}{a^{4}}+b^{4}.\dfrac{2^{4}}{b^{4}}+c^{4}.\dfrac{d^{4}}{c^{4}}=\left ( c^{4}-b^{4} \right ).\dfrac{d^{4}}{c^{4}}+\left ( b^{4}-a^{4} \right ).\left ( \dfrac{d^{4}}{c^{4}}+\dfrac{2^{4}}{b^{4}} \right )+a^{4}.\left ( \dfrac{d^{4}}{c^{4}}+\dfrac{2^{4}}{b^{4}}+\dfrac{1}{a^{4}} \right )\geq (c^{4}-b^{4})+2(b^{4}-a^{4})+3a^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}

Đây là điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=1,b=2,c=d.

 

* Tổng quát : Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn \left\{\begin{matrix} 0<a\leq b\leq c\leq d\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 3\\ \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 2 \end{matrix}\right.

Chứng minh rằng a^k+b^k+c^k-d^k\leq 2^k+1 với k là số nguyên dương cho trước

One thought on “[Bài toán] Sử dụng khai triển Abel để chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment