Phương pháp tọa độ trong chứng minh BĐT

By

Bài toán : Cho x,y,z là các số thực. Chứng minh rằng :

\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}

Lời giải :

Trong hệ tọa độ Oxy ta chọn các điểm A(x,0),B\left ( \dfrac{-y}{2},\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right ),C\left ( \dfrac{-z}{2},\dfrac{-z\sqrt{3}}{2} \right )

Ta có :

AB=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{y}{2} \right )^{2}+\left ( -\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4xy+4y^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}

AC=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{z\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4zx+4z^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+zx+z^{2}}

BC=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( \dfrac{-y}{2}+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{y\sqrt{3}}{2} +\dfrac{z\sqrt{3}}{2}\right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4y^{2}+4yz+4z^{2}}{4}}=\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}

Theo bất đẳng thức tam giác :

AB+BC\geq AC\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}

Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi A,B,C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} cùng phương \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \dfrac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{B}}\Leftrightarrow \dfrac{y+2x}{y-z}=\dfrac{y}{y+z}\Leftrightarrow xy+yz+zx=0

2 thoughts on “Phương pháp tọa độ trong chứng minh BĐT”

  1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng \[
    \sqrt {a^2 + b^2 – \sqrt 3 ab} + \sqrt {b^2 + c^2 + bc} \ge \sqrt {c^2 + a^2 + \sqrt 3 ca}
    \]

    Reply

  2. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment