Bài toán [Cực trị, Điểm rơi giả định, Cân bằng hệ số]

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ có tổng bằng $3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=x^{4}+2y^{4}+3z^{4}$

Lời giải :

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$b^{3}c^{3}(x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4})\geq 4xa^{3}b^{3}c^{3}$

$c^{3}a^{3}(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 4ya^{3}b^{3}c^{3}$

$a^{3}b^{3}(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 4za^{3}b^{3}c^{3}$

Cộng vế các BĐT trên, ta được :

$b^{3}c^{3}x^{4}+c^{3}a^{3}y^{4}+a^{3}b^{3}z^{4}+3a^{3}b^{3}c^{3}(a+b+c)\geq 4(x+y+z)a^{3}b^{3}c^{3}=12a^{3}b^{3}c^{3}\Leftrightarrow b^{3}c^{3}x^{4}+c^{3}a^{3}y^{4}+a^{3}b^{3}z^{4}\geq 3a^{3}b^{3}c^{3}$

Như vậy ta sẽ chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=3 & & \\ \dfrac{b^{3}c^{3}}{1}=\dfrac{c^{3}a^{3}}{2}=\dfrac{a^{3}b^{3}}{3} & & \end{matrix}\right.$

Hệ này cho ta nghiệm $a=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$

Từ đó :

$\dfrac{a^{6}}{6}x^{4}+\dfrac{a^{6}}{3}y^{4}+\dfrac{a^{6}}{2}z^{4}\geq 3.\dfrac{a^{9}}{6} =\dfrac{a^{9}}{2}\Rightarrow x^{4}+2y^{4}+3z^{4}\geq \dfrac{a^{9}}{2}:\dfrac{a^{6}}{6}=3a^{3}=\dfrac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})^{3}}$

Kết luận :

$MinF=\dfrac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})^{3}}\Leftrightarrow a=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$