[Bài toán] Bất đẳng thức thuần nhất, Phép chuẩn hóa

By

 Bài toán : (Serbia-Montenegro 2005) Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng : 

\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{3}{2}(a+b+c)}

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa a+b+c=\dfrac{3}{2}. Khi đó ta cần chứng minh :

\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \dfrac{3}{2}

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \dfrac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}=\dfrac{9}{4\left ( a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \right )}

Ta cần chứng minh :

\dfrac{9}{4\left ( a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \right )}\geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \dfrac{3}{2}

Thật vậy, cũng theo BĐT Cauchy-Schwarz :

(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^{2}\leq \left ( a+b+c \right )\left ( 2ab+2bc+2ca \right )\leq (a+b+c).2.\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \dfrac{3}{2}

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\dfrac{1}{2}

One thought on “[Bài toán] Bất đẳng thức thuần nhất, Phép chuẩn hóa”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment