Bài toán [Bất đẳng thức, C-S]

Bài toán (Đề thi HSG toán 10 tỉnh Thái Nguyên 2011-2012) : Cho các số dương $x,y,z$ . Chứng minh rằng $\dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(y+1)(z+1)^{2}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(z+1)(x+1)^{2}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}\geq x+y+z+3$ .

Lời giải :

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$\dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}=\dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{3\sqrt[3]{zx.z.x}+1}\geq \dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{zx+z+x+1}=\dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{(x+1)(z+1)}=\dfrac{(y+1)^{2}}{z+1}$