[Bài toán] Khai triển Abel, BĐT hình học

By

Bài toán :

1) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a\geq b\geq c>0 và \left\{\begin{matrix} x\geq a\\ x+y\geq a+b\\ x+y+z\geq a+b+c \end{matrix}\right.. Chứng minh rằng x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}

2) Cho tam giác ABC không nhọn. Chứng minh rằng :

A^{2}+B^{2}+C^{2}\geq \dfrac{3\pi ^{2}}{8}

Lời giải :

1) Sử dụng khai triển Abel và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

x^{2}+y^{2}+z^{2}=a.\dfrac{x^{2}}{a}+b.\dfrac{y^{2}}{b}b+c.\dfrac{z^{2}}{c}=(a-b).\dfrac{x^{2}}{a}+(b-c)\left ( \dfrac{x^{2}}{a}+\dfrac{y^{2}}{b} \right )+c\left ( \dfrac{x^{2}}{a}+\dfrac{y^{2}}{b}+\dfrac{z^{2}}{c} \right )\geq (a-b).a+(b-c).\dfrac{(x+y)^{2}}{a+b}+c.\dfrac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}\geq a(a-b)+(b-c)(a+b)+c(a+b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}

Đẳng thức xảy ra khi x=a,y=b,z=c

2) Vì tam giác ABC không nhọn nên ta giả sử A\geq \dfrac{\pi }{2}, khi đó B+C\leq \dfrac{\pi }{2}. Do đó tồn tại một góc có số đó không vượt quá \dfrac{\pi }{4}. Gỉa sử C\leq \dfrac{\pi }{4}\Rightarrow B\geq \dfrac{\pi }{4}.

Khi đó ta có \left\{\begin{matrix} A\geq \dfrac{\pi }{2}\\ A+B\geq \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4}\\ A+B+C=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{4} \end{matrix}\right. và A\geq B\geq C>0.

Áp dụng kết quả câu trên, ta có :

A^{2}+B^{2}+C^{2}\geq \left ( \dfrac{\pi }{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{\pi }{4} \right )^{2}+\left ( \dfrac{\pi }{4} \right )^{2}=\dfrac{3\pi ^{2}}{8}.

Đẳng thức xảy ra khi A=\dfrac{\pi }{2},B=C=\dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow \Delta ABC vuông cân.

One thought on “[Bài toán] Khai triển Abel, BĐT hình học”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment