Bài toán [Sử dụng BĐT AM-GM]

Bài toán : Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ , chứng minh BĐT : $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\dfrac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$

Lời giải :

Ta có thể viết bất đẳng thức đã cho thành :

$\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\dfrac{a_{2}+a_{3}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+...+\dfrac{a_{n}+a_{1}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}..a_{n}}}+\dfrac{2^{n}a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$

Khi đó áp dụng BĐT $AM-GM$ cho vế trái :

$VT\geq (n+1)\sqrt[n+1]{\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1}).2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n}.\sqrt[n]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{n}}.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1})}}=n+1$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

Bài toán [Sử dụng BĐT AM-GM]

One thought on “Bài toán [Sử dụng BĐT AM-GM]”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

One thought on “Bài toán [Sử dụng BĐT AM-GM]”

Leave a comment Cancel reply