Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên

Bài 1 Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho

$4^{x} + 3^{y} = z^{2}$

Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ $n$ sao cho $n^{11}+199$ là một số chính phương

Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$x^{y^{x}}=y^{x^{y}}$

Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Bài 5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên

$5^{x}=y^{4}+4y+1$

Bài 6 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$4^{x}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}=16$

Bài 7 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình

$2^{a}3^{b}+9=c^{2}$

Bài 8 Chứng minh rằng phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên :

$19x^{2}+5y^{9}+1890z^{1945}=t^{2003}$

Bài 9 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn

$x^{y}=y^{x-y}$

Bài 10 Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}+...+(x+1983)^{2}=y^{2}$

Bài 11 Cho trước số nguyên dương $k$ . Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$x^{2}+y^{2}=2011^{2003^{k}+1}(10-z)$

Bài 12 Giải phương trình nghiệm nguyên tố

$p_{1}^{6}+p_{2}^{6}+p_{3}^{6}+p_{4}^{6}+p_{5}^{6}+p_{6}^{6}+p_{7}^{6}=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}p_{6}p_{7}$

Bài 13 Giải phương trình nghiệm nguyên

$x_{1}^{5}+(x_{1}+x_{2})^{5}+(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}+...+(x_{1}+x_{2}+...+x_{2014})^{5}=2014x_{1}+2013x_{2}+...+2x_{2013}+x_{2014}+2012^{2013}$

Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$2^{x}3^{y}+5^{z}=7^{t}$

Bài 15 Giải phương trình nghiệm nguyên

$2^{a}+8b^{2}-3^{c}=283$

Bài 16 Tìm các số nguyên dương $n$ không phải là bội số của $3$ sao cho $2^{n^{2}-10}+2133$ là lập phương của một số nguyên dương.

Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ sao cho

$5x^{2}-14y^{2}=11z^{2}$

Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^5 + y^5 + z^5 = t^5 + 5^{2011}$

Bài 19 Giải hệ phương trình nghiệm nguyên

$\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & & \\ y^{x+y}=x^{3}& & \end{matrix}\right.$

Bài 20 Chứng minh rằng phương trình $(x+y+z)^2=7xyz$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 21 Cho phương trình $(x+y+z)^2=nxyz$ với $n$ là số tự nhiên khác $0$ . Tìm $n$ để phương trình có nghiệm nguyên dương.

Bài 22 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$2^x + 3^x + 4^x = y^2$

Bài 23 Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,p$ thỏa mãn phương trình $p^x-y^p=1$ trong đó $p$ là một số nguyên tố

Bài 24 Cho số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ . Chứng minh rằng phương trình $\dfrac{x^{2}+x}{y^{2}+y}=p^{2n}$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 25 Chứng minh rằng phương trình $3^{x}=xy+1$ có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 26 Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^3-4p+9$ là một số chính phương.

Bài 27 Chứng minh rằng phương trình

$\left \{ x^{2} \right \}+\left \{ y^{2} \right \}=\left \{ z^{2} \right \}$

có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

Bài 28 Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $x^2+y^2+x+y=kxy$ có nghiệm nguyên dương.

Bài 29 Cho số nguyên tố $p$ và $a,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2^{p}+3^{p}=a^{n}$ thì $n=1$ .

Bài 30 Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $(x+y+z+t)^2=k^2yzt$ có nghiệm nguyên dương.

Bài 31 Chứng minh rằng phương trình $x^{4}-1=(2y+1)^3$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 32 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $2x+2y+z=n$ có tất cả $28$ nghiệm nguyên dương.

Bài 33 Tìm số tự nhiên $a,b$ sao cho $A=3^{9a^2+3a-86}+10$ là số nguyên tố

Bài 34 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình

$\dfrac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ .

Bài 35 Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn

$pq \mid p^q+q^p+1$

Bài 36 Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn đồng thời

$p\mid q^r+1\;,\;q\mid r^p+1\;,\;r\mid p^q+1$ .

Bài 37 Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn

$n\mid 2^n-1$ .

Bài 38 Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn

$pq \mid p^p+q^q+1$ .

Bài 39 Tìm hai số nguyên dương $a,b$ sao cho

$a^{3b}=b^{2a^2}$

Bài 40 Cho số nguyên dương $n\geq 2$ . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương.

$x^{n}+y^{n}=z^{n-1}$

$x^{n}+y^{n}=z^{n+1}$

$x^{n}+y^{n}+z^n+t^n=w^{n-1}$

Bài 41 Cho trước các số nguyên dương $m,n,p$ . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

$x^2+y^2=(m^2+n^2)^z$

$x^{4}+y^4+z^4=(m^2+n^2+p^2)^{t}$

Bài 42 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$x^{x+y}=y^{y-x}$

Bài 43 Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^{2}+xy=y^2+xz$

Bài 44

a) Chứng minh rằng phương trình $x^4+y^4+z^4=2t^4$ có vô số nghiệm nguyên.

b) Chứng minh rằng phương trình $x^3+y^3+z^3=t^3$ có vô số nghiệm nguyên.

c) Chứng minh rằng phương trình $x^2+xy+y^2=z^3$ có vô số nghiệm nguyên.

Bài 45 Chứng minh rằng nếu $p_1,p_2,....,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$ có vô số nghiệm nguyên dương $(x_1,x_2,....,x_n)$

Bài 46 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^4-2y^2=1$

Bài 47 Cho trước số nguyên dương $k$ . Chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2=z^{2k+1}+z$ có vô số nghiệm nguyên mà $(x,y,z)=1$

Bài 48 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $x^4+y^2$ chia hết cho $7^x-3^y$ .

Bài 49 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $(x^2+y^2)(u^2+v^2+w^2)=2009^n$ luôn có nghiệm nguyên.

* Một số bài toán tương tự :

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+y^2+z^2=59^n$ luôn có nghiệm nguyên.

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+xy+y^2=7^n$ luôn có nghiệm nguyên.

Bài 50 Cho $k,n$ là các số nguyên dương với $n>2$ . Chứng minh rằng phương trình $x^n-y^n=2^k$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 51 Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ , phương trình $\left | x^2-17y^2 \right |=4^n$ luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$ , trong đó $x,y$ đều lẻ.

* Bài toán tương tự :

Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ , phương trình $7x^2+y^2=2^n$ luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$ , trong đó $x,y$ đều lẻ.

Bài 52 Chứng minh rằng với số tự nhiên $k$ bất kì, phương trình $x^2+y^2-z^2=k$ luôn có nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa $x<y<z$ .

Bài 53 Tìm số nguyên dương $n$ sao cho

$n\mid 3^n-2^n$ .

Bài 54

a) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho

$y^2-5\mid x^2+1$

b) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho

$2y^2+3 \mid x^2-2$

Bài 55 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

$m^6=n^{n+1}+n-1$

Bài 56 Tìm các số $n,k$ nguyên dương thỏa mãn $(n+1)^k-1=n!$

Bài 57 Tìm các số nguyên dương $x,m,n$ thỏa mãn phương trình :

$(x+1)^m-x^n=17$

Bài 58 Tìm các cặp số nguyên dương $(x,y)$ và thỏa mãn $x^2+3y$ và $y^2+3x$ đều là các số chính phương.

Bài 59 Tìm các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn

$m!+n!=m^n$

Bài 60 Tìm cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$ .

Bài 61 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình :

$33^x+31=2^y$

Bài 62 Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(x,y)$ thỏa mãn phương trình :

$7^x-2.5^y=-1$

Bài 63 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $8^n+n$ chia hết cho $2^n+n$ .

Bài 64 Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ và số nguyên tố $p\geq 5$ thỏa mãn :

$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$

Bài 65 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(m,p,q)$ thỏa mãn :

$2^m.p^2+1=q^5$

Trong đó $m>0$ và $p,q$ là hai số nguyên tố.

Bài 66 Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$2^n+n=m!$

Bài 67 Tìm tất cả các bộ ba $(a,b,c)$ với $a,b,c$ nguyên dương và thỏa mãn :

$2^a+3^b+1=6^c$

Bài 68 Tìm các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$3^m-7^n=2$

Bài 69 Tìm bộ ba $(p,x,y)$ thỏa mãn phương trình :

$p^x=y^4+4$

Trong đó $p$ là số nguyên tố và $x,y$ là các số tự nhiên.

Bài 70 Tìm bộ ba các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn phương trình :

$(x+y)(1+xy)=2^z$

Bài 71 Tìm tất cả các số nguyên dương $(x,n)$ sao cho :

$x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1$

Bài 72 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

$2^x=3^y+5$ .

Bài 73 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

$x^3+2y^3-4x-5y+z^2=2012$

Bài 74 Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

$\dfrac{x+1}{y}+\dfrac{y+3}{x}=6$

Bài 75 Tìm các số nguyên dương $n,p,q$ thỏa mãn :

$2^n+n^2=3^p7^q$

Bài 76 Tìm các số nguyên dương $m,n$ thoả mãn :

$n^m-m\mid m^2+2m$

Bài 77 Tìm bộ ba số nguyên không âm $(x,y,z)$ thỏa mãn phương trình :

$2^x+2009=3^y5^z$

Bài 78 Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thoả mãn đồng thời :

$x^y+y^x=z^y\;\;\;(1)$ và $x^y+2012=y^{z+1}\;\;\;(2)$

Bài 79 Tìm các cặp số nguyên dương lẻ $(m,n)$ thỏa mãn :

$n\mid 3m+1$ và $m\mid n^2+3$

Bài 80 Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn :

$(a^3+b)(a+b^3)=2^c$

Bài 81 Tìm các số nguyên dương $n$ thỏa mãn :

$2n+7\mid n!-1$ .

Bài 82 Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn :

$x^5+4^y=2013^z$

Bài 83 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn :

$1+4^x+4^y=z^2$

Bài 84 Giải phương trình

$3^x-5^y=z^2$

trên tập nghiệm nguyên dương.

Bài 85 Tìm các số nguyên dương $m,n$ với $m,n>1$ và thỏa mãn :

$mn-1\mid n^3-1$ .

Bài 86 Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$\dfrac{m+1}{n}+\dfrac{n+1}{m}\in \mathbb{Z}^+$

3 thoughts on “Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên”

Hoàng Hưng Chelski says:

May 2, 2014 at 12:34 pm

toàn bài hay. em cảm ơn anh!

duy says:

June 5, 2014 at 1:11 am

cho mình hỏi lời giải ở đâu vậy bạn(hoặc gợi ý)

Đình Huy says:

June 5, 2014 at 1:22 am

bạn click trực tiếp vào số bài sẽ có lời giải 🙂