Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán (IMO Shortlist 2006)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình $\dfrac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ .

Lời giải :

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m$ ( $x>1$ ) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1\;\;(mod\;p)$

Chứng minh bổ đề :

Gọi $r$ là một ước nguyên tố của $m$ .

Từ đề bài ta có

$m\mid x^{p}-1\Rightarrow x^{p}\equiv 1\;(mod\;m)\Rightarrow x^{p}\equiv 1\;(mod\;r)\Rightarrow ord_x(r)\mid p\Rightarrow ord_x(r)\in \left \{ 1,p \right \}$

Nếu $ord_x(r)=1$ thì $x\equiv 1\;(mod\;r)\Rightarrow \dfrac{x^{p}-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1\equiv \underset{p}{\underbrace{1+1+...+1}}=p\;(mod\;r)$

Mà $\dfrac{x^p-1}{x-1}\equiv 0\;(mod\;r)\Rightarrow p\equiv 0\;(mod\;r)\Rightarrow p=r\Rightarrow m\equiv 0\;(mod\;p)$

Nếu $ord_x(r)=p$ , hiển nhiên $r\nmid x$ vì nếu $r\mid x$ thì $\dfrac{x^p-1}{x-1}\equiv 1\;(mod\;r)$ và điều này trái giả thiết.

Do đó áp dụng định lí $Fermat$ nhỏ thì $x^{r-1}\equiv 1\;(mod\;r)$ , suy ra $ord_x(r)\mid r-1\Rightarrow p\mid r-1\Rightarrow r\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow m\equiv 1\;(mod\;p)$

Như vậy ta có $m\equiv 0,1\;(mod\;p)$ . Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta viết phương trình dưới dạng : $\dfrac{x^7-1}{x-1}=(y-1)(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)$

Áp dụng bổ đề trên thì ta có $\left\{\begin{matrix} y-1\equiv 0,1\;(mod\;7) & (1) & \\ y^4+y^3+y^2+y+1\equiv 0,1\;(mod\;7) & (2) & \end{matrix}\right.$