Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Vieta Jumping]

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $x^2+y^2+x+y=kxy$ có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Gọi $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_{0}\geq y_{0}\geq 1$

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$x^{2}+y_{0}^{2}+x+y_{0}=kxy_{0}\Leftrightarrow x^{2}+x(1-ky_{0})+y_{0}^{2}+y_{0}=0$

Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_{0}$ , gọi nghiệm còn lại là $x_{1}$

Theo định lí $Viete$ :

$\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=ky_{0}-1 & (1) & \\ x_{0}x_{1}=y_{0}^{2}+y_{0} & (2) & \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ ta có $x_1$ nguyên, từ $(2)$ ta có $x_1$ dương. Như vậy $(x_1,y_0)$ cũng là một nghiệm thỏa mãn phương trình

Mặt khác, do tính nhỏ nhất của tổng $x_{0}+y_{0}$ mà ta có $x_{1}\geq x_{0}$ .

Do đó từ $(1)$ , ta có : $ky_{0}-1\geq 2x_{0}\Rightarrow \dfrac{2x_{0}}{y_{0}}+\dfrac{1}{y_{0}}\leq k$

Từ phương trình :

$k=\dfrac{x_{0}}{y_{0}}+\dfrac{y_{0}}{x_{0}}+\dfrac{1}{x_{0}}+\dfrac{1}{y_{0}}=\left ( \dfrac{x_{0}}{y_{0}} +\dfrac{1}{2y_{0}}\right )+\dfrac{y_{0}}{x_{0}}+\dfrac{1}{x_{0}}+\dfrac{1}{2y_{0}}\leq \dfrac{k}{2}+1+1+\dfrac{1}{2}\Rightarrow k\leq 5\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$

Với $k=1$ , ta có : $x^{2}+y^{2}+x+y=xy$ , phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì $x^{2}+y^{2}+x+y\geq 2xy+x+y>xy$
Với $k=2$ , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
Với $k=3$ , phương trình có nghiệm nguyên dương $(2;2)$
Với $k=4$ thì phương trình có nghiệm $(1;1)$ .
Với $k=5$ , dấu bằng phải đồng thời xảy ra ở các điểm :