Danh sách tổng hợp các bài toán đa thức

February 28, 2014

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC

[Mọi người click vào số thự tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ thì không có nghiệm hữu tỉ.

Bài 2 Chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì đa thức $P=\dfrac{x^p-1}{x-1}$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

Bài 3 Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c,\;\left ( a\neq 0 \right )$ . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ sao cho $P\left ( Q(x) \right )\equiv Q(P(x))$

Bài 4 Cho đa thức $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,\;\left ( a_n\neq 0 \right )$ . Đặt $M=max\left | \dfrac{a_i}{a_n} \right |,\forall i=\overline{0,n-1}$ . Gọi $x_0$ là một nghiệm thực của $P(x)$ . Chứng minh rằng $\left | x_0 \right |<1+M$

Bài 5 Cho số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab$ là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^a+x^b+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$ với mọi $x>1$

b) Chứng minh rằng với mọi $x$ thỏa mãn $\left | x \right |\leq 2$ thì $\left | f(x) \right |\leq 7$

Bài 8 Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ thỏa mãn $|P(x)|\leq 1$ với mọi $|x|\leq 1$ . Chứng minh rằng $|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7$

Bài 9 Cho hai đa thức hệ số nguyên

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

và $Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0$

Biết rằng $a_n-b_n$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$ . Gọi $m$ là nghiệm hữu tỉ chung của $P(x)$ và $Q(x)$ . Chứng minh rằng $m$ là số nguyên.

Bài 10 Cho đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của $x$ . Xét họ đa thức :

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\dfrac{x(x-1)}{2!}$

$...$

$P_n(x)=\dfrac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b_0,b_1,...,b_n$ sao cho $P(x)$ biểu diễn được dưới dạng :

$P(x)=b_0P_0(x)+b_1P_1(x)+...+b_nP_n(x)$

Bài 11 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ nhận $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm một nghiệm. Chứng minh rằng $degP(x)\geq 6$ .

Bài 12 Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $a$ không chia hết cho $p$ . Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^p-x+a$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

Bài 13 Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức $P(x)=x^n+4$ khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ là $n$ chia hết cho $4$

Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên $x^2+px+q$ thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên $2x^2+rx+s$ sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.

Bài 16 Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức $x^4+x^3-1$ là nghiệm của đa thức $x^6+x^4+x^3-x^2-1$ .

Bài 17 Cho $n$ số nguyên phân biệt $a_1,a_2,...,a_n$ . Chứng minh rằng đa thức

$P(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$

bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Bài 18 Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Bài 19 Cho số tự nhiên $n$ lớn hơn $1$ . Chứng minh rằng đa thức $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Bài 20 Cho số tự nhiên $n\geq 4$ . Chứng minh rằng đa thức $f(x)=x^n+x^3+x^2+x+5$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Bài 21 Cho đa thức hệ số thực $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có ba nghiệm. Chứng minh rằng :

$12ab+27c\leq 6a^3+10\sqrt{(a^2-2b)^3}$

Bài 22 Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên và $f(a)+f(b)+f(c)$ chia hết cho $a+b+c$ với mọi số nguyên $a,b,c$ .

Bài 23 Cho $a$ là số thực thỏa mãn điều kiện $sin(a)\neq 0$ . Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên $n\geq 2$ , đa thức

$P_n(x)=x^nsin(a)-x.sin(na)+sin(n-1)a$

chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-2x.cos(a)+1$ .

Phương trình hàm trên tập rời rạc

February 26, 2014

By Đình Huy

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ, SỐ NGUYÊN, SỐ TỰ NHIÊN

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(2)=2\\ f(mn)=f(m)f(n),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^*\\ f(m)<f(n),\;\forall m<n \end{matrix}\right.$

Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Bài 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(4)=4\\ f(2m)=2f(m),\;\forall m\equiv 1\;(mod\;2)\\ f(m)<f(n),\;\forall m<n \end{matrix}\right.$

Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ sao cho với mọi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ta có :

$i)\;\;\;f(n+1)\geq f(n)$

$ii)\;\;\;f(f(n))=n+2012$

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ sao cho

$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$

Bài 6 Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$f(x+f(y))=f(x)-y,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}\;\;\;(*)$

Bài 7 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$f(m+f(n))=f(m+n)+2n+2,\forall m,n\in \mathbb{N}\;\;(1)$

Bài 8 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$f(f(x+y)+f(x-y))=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Bài 9 Cho trước số nguyên dương $k$ . Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$i)\;\;f(n+1)>f(n)\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

$ii)\;\;f(f(...f(n)...))=n+k,\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ ( $k$ lần hàm số $f$ )

Bài 10 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$f(1)+2f(2)+3f(3)+...+nf(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\dfrac{1}{6}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{3}n,\;\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;\;(1)$

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$f^3(1)+f^3(2)+...+f^3(n)=\left ( f(1)+f(2)+...+f(n) \right )^2,\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;(1)$

Bài 12 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$f(f(n))+f^2(n)=n^2+3n+3,\;\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;(1)$

Bài 13 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$f(f(n))+f(n)=2n+3,\;\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;\;(1)$

Bài 14 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ và thỏa mãn :

$f(n+f(n))=f(n),\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;\;(1)$

cho biết tồn tại $n_0\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $f(x_0)=1$

Bài 15 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$2f^3(m^2+n^2)=f^2(m)f(n)+f(m)f^2(n)$

Bài 16 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\;\forall x,y\in \mathbb{N}$

Bài 17 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$f(f(n))=n+1987,\;\forall n\in \mathbb{N}$

Bài 18 Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$f(f(f(n)))+f(f(n))+f(n)=3n,\;\;\forall n\in \in \mathbb{N}^{*}$

Bài 19 Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1)=2$ và :

$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}\;\;\;(1)$

Bài 20 Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thỏa mãn các điều kiện sau :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=1\\ f(n+3)\leq f(n)+3\\ f(n+2012)\geq f(n)+2012 \end{matrix}\right.\forall n\in \mathbb{Z}$

Tính giá trị $f(2013)$

Bài 21 Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và :

$f(m+n)+f(m-n)=\dfrac{1}{2}\left [ f(2m)+f(2n) \right ],\;\forall m,n\in \mathbb{N}\;\;\;\;(1)$

Bài 22 Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(mn)=f(m)+f(n)\\ f(n)=0,\;\forall n\equiv 3\;(mod\;10)\\ f(10)=0 \end{matrix}\right.$

Bài 23 Cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333\\ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\;\textbf{hay}\;1 \end{matrix}\right.$

Tính $f(1982)$ .

Bài 24 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\;\;\;\;\;(1)\\ f(x^2)=f^2(x)\;\;\;\;\;\;(2) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}$

Bài 25 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\;\;\;\;\;(1)\\ f(x^3)=f^3(x)\;\;\;\;\;\;(2) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}$

Bài 26 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\\ f(x^4)=f^4(x) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+$

Bài 27 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^*$ và thỏa mãn :

$f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),\;\forall n\geq 2$

Bài 28 Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ và thỏa mãn :

$f\left ( x+\dfrac{y}{x} \right )=f(x)+\dfrac{f(y)}{f(x)}+2y,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}^+\;\;\;(1)$

Bài 29 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( \dfrac{x+y}{3} \right )=\dfrac{f(x)+f(y)}{2},\;\forall x,y\in \mathbb{Z},3\mid x+y\;\;\;\;\;\;(1)$

Bài 30 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thỏa mãn

$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2,\;\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1)$

Bài 31 Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=\dfrac{5}{2}\\ f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n),\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1) \end{matrix}\right.$

Bài 32 Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thỏa mãn :

$3f(n)-2f(f(n))=n,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Bài 33 Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=1\\ 2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),\;\forall k,n\in \mathbb{N},k\geq n\;\;\;(1) \end{matrix}\right.$

Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức

February 4, 2014

By Đình Huy

Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} P(x)=\dfrac{1}{2}\left [ P(x+1)+P(x-1) \right ],\;\forall x\\ P(0)=0 \end{matrix}\right.$

Bài 2 : Cho $k\in \mathbb{Z},k>1$ , tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$xP(x-1)\equiv (x-k)P(x)$

Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho :

$\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-32}+32\\ P(2005)=2037 \end{matrix}\right.,\forall x\geq 0$

Bài 4 : Tìm đa thức $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)$

Với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn $xy+yz+zx=0$

Bài 5 : Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} P(a+b)=P(a)+7P(b)\\ ab(a+b)=2b^3 \end{matrix}\right.$

Bài 6 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=3P(a)+3P(b)+3P(c)$

Với mọi $a,b,c\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a+b+c=0$

Bài 7 Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(x)P(y)=P^{2}\left ( \dfrac{x+y}{2} \right )-P^2\left ( \dfrac{x-y}{2} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 8 Tìm các đa thức có dạng $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ , trong đó $a_i\in \left \{ -1,1 \right \},\;\forall i=\overline{0,n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Bài 9 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

$P(x^2)=P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 10 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

$P(x^2-2x)=P^2(x-2),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 11 Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 12 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực và thỏa mãn :

$P^2(x)-2=2P(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 13 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(3x^2)=P(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(x^2)=P(x^3),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 15 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :

$P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )\leq P^2(1),\;\forall x> 0$

Phương trình hàm trên tập số thực

February 4, 2014

By Đình Huy

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC

[Mọi người click vào số thự tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\rightarrow \setminus \left \{ 0,1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( x \right )+f\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=1+x\;\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}$

Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( f(x+y)f(x-y) \right )=x^2-yf(y)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} f(3x-1)+g(6x-1)=3x\\ f(x+1)+x^2g(2x+3)=2x^2+7 \end{matrix}\right.$

Bài 4 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} f(2x-1)+g(1-x)=x+1\\ f\left ( \dfrac{1}{x+1} \right )+2g\left ( \dfrac{x}{2x+2} \right )=3 \end{matrix}\right.$

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=8xy(x^4-y^4)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\\ f\left ( \dfrac{30}{4} \right )=2010 \end{matrix}\right.$

Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f((x-y)^2)=f^2(x)-2xf(y)+y^2$

Bài 7 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2-y^2)=(x-y)\left ( f(x)+f(y) \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 8 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 9 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2)-f(y^2)=(x+y)\left ( f(x)-f(y) \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 10 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$f(x^2-y)=xf(x)-f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ và thỏa mãn :

$f(x)f(yf(x))=f(y+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 12 Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( f(y+f(x)) \right )=f(x+y)+f(x)+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 13 Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $f$ không đồng nhất $0$ , thỏa mãn :

$2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

a) Chứng minh rằng $f(x)\geq -1,\;\forall x\in \mathbb{R}$

b) Cho biết $f(3)=0$ . Tính $f(1992),f(1995),f(1998)$ .

Bài 14 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(2f(x)-y)=2x+y+6,\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 15 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+f(y))=y+xf(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 16 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 17 Tìm hàm số $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ :

$f(g(x))=x^2\;\;(1)$ và $g(f(x))=x^3\;\;\;(2)$

Bài 18 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)\;\;\;(1)$

Bài 19 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+y^2)=f^2(x)-f(x)f(y)+xy+x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 20 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(1)=\dfrac{1}{2}$ và $f(xy)=f(x)f\left ( \dfrac{3}{y} \right )+f(y)f\left ( \dfrac{3}{x} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}^+\;\;\;(1)$

Bài 21 Cho $\alpha ,\beta$ là các số thực dương. Tìm hàm số $f:(1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$f(x)f(y)=y^{\alpha }f\left ( \dfrac{x}{2} \right )+x^{\beta }f\left ( \dfrac{y}{2} \right ),\;\forall x,y> 2\;\;\;(1)$

Bài 22 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+f(y))=2f(xf(y)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 23 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 24 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x-f(y))=f(f(y))-2xf(y)+f(x)-2,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 25 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$(x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 26 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+f(y))=f^{2}(y)+2xf(y)+f(-x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 27 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 28 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 29 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+f(y))=2y+f(x-y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 30 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y))^4-x^4,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 31 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(1)$

Bài 32 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 33 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)=x^2f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+y^2f\left ( \dfrac{1}{y} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}^+\;\;\;\;(1)$

Bài 34 Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \left ( 0,+\infty \right )$ và thỏa mãn :

$yf(yf(x))=f(f(x)),\;\forall x,y\in \left ( 0,+\infty \right )\;\;\;\;(1)$

Bài 35 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn điều kiện :

$f\left ( \dfrac{f(x)}{y} \right )=yf(y)f(f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}^+\;\;\;\;\;(1)$

Bài 36 Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+2f(y))=f(x)+f(y)+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;(1)$

Bài 37 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y^3)+2012y^2=f(x)+y^2f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 38 Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+f(y))=-3f(x)+4x+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 39 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^{2015}+2014y)=f(2x+y)+f(3x+2013y)+x^{2015}-5x-2015,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 40 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f((1+x)f(y))=yf(1+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 41 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$ thỏa mãn :

$f(x)+f(y)=f(xyf(x+y)),\;\forall x,y,x+y\neq 0\;\;\;(1)$

Bài 42 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 43 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 44 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;(1)$

Bài 45 Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,\;\; \forall x,y \in \mathbb{R} \;\;\;(1)$

Bài 46 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+y)=f^2(x)+\dfrac{f(xy)}{f(x)},\;\forall x,y\neq 0,x^2+y\neq 0\;\;\;\;\;(1)$

Bài 47 Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;(1)$

Bài 48 Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(y)+x^2+1)+2x=y+f^2(x+1),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 49 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+xy+f(y))=\left ( f(x)+\dfrac{1}{2} \right )\left ( f(y)+\dfrac{1}{2} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 50 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left ( f(x)-f(y) \right )f\left ( \dfrac{x+y}{x-y} \right )=f(x)+f(y),\;\;\forall\;x,y \in \mathbb{R},x\neq y\;\;\;\;\;\;(1)$

Bài 51 Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)+f(x^2+f(y))=f^2(x)+f(x)+f(y)+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 52 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)+xf(y)=f(f(x)+y)+yf(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 53 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 54 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 55 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left [ f^2(x)+y^2 \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(1)$

Bài 56 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 57 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 58 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(xf(x)+2y)=f(x^2)+f(y)+x+y-1,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 59 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 60 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$y^2f(x)+x^2f(x)+xy=xyf(x+y)+x^2+y^2,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

Category Archives: (4) Danh sách tổng hợp các bài toán về Đa thức – Phương trình hàm

Danh sách tổng hợp các bài toán đa thức

Phương trình hàm trên tập rời rạc

Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức

Phương trình hàm trên tập số thực