Bài toán [Đa thức]

By

Bài toán : Cho đa thức P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} \left ( a_{n}\neq 0 \right ). Đặt M=max\left | \dfrac{a_{i}}{a_{n}} \right |\forall i=\overline{0,n-1}. Gọi x_{0} là một nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng \left | x_{0} \right |<1+M

Lời giải :

Vì x_{0} là một nghiệm của P(x) nên :

P(x_{0})=0\Leftrightarrow -a_{n}x_{0}^{n}=a_{n-1}x_{0}^{n-1}+...+a_{1}x_{0}+a_{0}\Rightarrow -x_{0}^{n}=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}x_{0}^{n-1}+...+\dfrac{a_{1}}{a_{n}}x_{0}+\dfrac{a_{0}}{a_{n}}\Rightarrow \left | x_{0}^{n} \right |=\left | \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}x_{0}^{n-1}+...+\dfrac{a_{1}}{a_{n}}x_{0}+\dfrac{a_{0}}{a_{n}} \right |\leq \left | \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}} \right |.\left | x_{0}^{n-1} \right |+...+\left | \dfrac{a_{1}}{a_{n}} \right |.\left | x_{0} \right |+\left | \dfrac{a_{0}}{a_{n}} \right |\leq M\left ( \left | x_{0}^{n-1} \right | +|x_{0}|+...+1\right )

Nếu \left | x_{0} \right |=1 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh

Nếu \left | x_{0} \right |\neq 1, ta có :

\left | x_{0} \right |^{n}\leq M.\dfrac{\left | x_{0} \right |^{n}-1}{\left | x_{0} \right |-1}<M.\dfrac{\left | x_{0} \right |^{n}}{\left | x_{0} \right |-1}\Rightarrow \left | x_{0} \right |<1+M

Đây là điều phải chứng minh.

One thought on “Bài toán [Đa thức]”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment