Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thỏa mãn :

$3f(n)-2f(f(n))=n,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Lời giải :

Ta có thể viết phương trình hàm đã cho dưới dạng :

$2\left [ f(f(n))-f(n) \right ]=f(n)-n,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Đặt $g(n)=f(n)-n,\;\forall n\in \mathbb{Z}$ ta được :

$2g(f(n))=g(n),\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Điều này dẫn đến :

$g(n)=2g(f(n))=2^2g(f(f(n)))=2^3.g(f(f(f(n))))=...$

Tức là $2^k\mid g(n),\;\forall k\in \mathbb{N}\Rightarrow g(n)=0,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Kéo theo :

$f(n)=n,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n,\;\forall n\in \mathbb{Z}}$

Huy Cao's Blog