[Bài toán] Ứng dụng định lí Ceva-sin

Bài toán : Cho $\Delta ABC$ có $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta$ . Nối $AO,BO,CO$ giao $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$ . Gọi $I$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta MNP$ .Nối $MI,NI,PI$ giao $PN,PM,MN$ ở $D,E,F$ . Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.

Lời giải :

Ta có :

$\dfrac{S_{ADN}}{S_{ADP}}=\dfrac{AD.DN.sin\widehat{ADN}}{AD.DP.sin\widehat{ADP}}=\dfrac{DN}{DP},\dfrac{S_{ADN}}{S_{ADP}}=\dfrac{AN.AD.sin\widehat{DAC}}{AD.AP.sin\widehat{DAB}}=\dfrac{AN.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}$ $

Do đó :

$\dfrac{AD.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}=\dfrac{DN}{DP}\Rightarrow \dfrac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}=\dfrac{DN}{DP}.\dfrac{AP}{AN}$

Hoàn toàn tương tự :

$\dfrac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}=\dfrac{EP}{EM}.\dfrac{BM}{BP},\;\;\dfrac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=\dfrac{FM}{FN}.\dfrac{CN}{CM}$

Suy ra :

$\dfrac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}.\dfrac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}.\dfrac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=\dfrac{DN}{DP}.\dfrac{EP}{EM}.\dfrac{FM}{FN}.\dfrac{AP}{AN}.\dfrac{BM}{BP}.\dfrac{CN}{CM}$