Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

By

Bài toán (THTT số 422) : Giải phương trình nghiệm nguyên 

2^{a}+8b^{2}-3^{c}=283

Lời giải :

\blacksquare Trường hợp 1 : Nếu \left\{\begin{matrix} a<0 & & \\ c>0 & & \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} a>0 & & \\ c<0 & & \end{matrix}\right. thì một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

\blacksquare Trường hợp 2 : Nếu a,c < 0 :

\dfrac{1}{2^{|a|}}+8b^{2}-\dfrac{1}{3^{|c|}}=283

Điều này tương đương với :

\dfrac{3^{|c|}}{2^{|a|}} + 8b^2.3^{|c|}-1=283.3^{|c|}

Mâu thuẫn.

\blacksquare Trường hợp 3 : Nếu a,c\geq 0 :

Ta viết phương trình thành :

2^{a}+8b^{2}=283+3^{c}

Ta có 283\equiv 3(mod8) \Rightarrow 2^{a}+8b^{2}\equiv 4;6(mod8)\Rightarrow 2^{a}\equiv 4;6(mod8)\Rightarrow a=2

Ta được :

8b^{2}=279+3^{c}

Nếu c = 0;1 thì b tìm được không nguyên

Nếu c = 2 thì tìm được b = 6 hoặc b = -6

Nếu c > 2 thì 3|279+3^{c}\Rightarrow 3|8b^{2}\Rightarrow 3|b\Rightarrow b=3t

Thay vào phương trình :

8.9t^{2}=279+3^{c}\Rightarrow 8t^{2}=31+3^{c-2}

Mà 8t^{2}\equiv 0;2(mod3) còn 31+3^{c-2}\equiv 1(mod3). Trường hợp này loại

Kết luận : \boxed{(x;y)=(2;6;2);(2;-6;2)}

One thought on “Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên | julielltv

Leave a comment