Arithmetic Sequence

Bài toán : Xét dãy số $(u_n)$ : $u_n=\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor,\;\;\forall n\in \mathbb{Z}^+$ . Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương.

Lời giải :

Nhận xét rằng luôn tồn tại hai dãy số nguyên dương $(A_n),(B_n)$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} (1+\sqrt{2})^n=A_n+B_n\sqrt{2}\\ (1-\sqrt{2})^n=A_n-B_n\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Khi ấy :

$1=(1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n=(A_n+B_n\sqrt{2})(A_n-B_n\sqrt{2})=A_n^2-2B_n^2\Rightarrow A_n^4+A_n^2=2(A_nB_n)^2$

Hơn nữa ta có nhận xét sau :

$(A_n^2)^2< A_n^4+A_n^2< (A_n^2+1)^2\Rightarrow A_n^2< \sqrt{A_n^4+A_n^2}< A_n^2+1\Rightarrow \left \lfloor A_nB_n\sqrt{2} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt{A_n^4+A_n^2} \right \rfloor=A_n^2$