Geometry

Bài toán (Vietnam Mathematical Olympiad 2007)

Cho hình thang nội tiếp có đáy lớn . là một điểm thuộc đường thẳng sao cho không tiếp xúc với . Đường tròn đường kính cắt tại khác . cắt tại . giao tại . Chứng minh rằng khi thay đổi thì luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi giao của đường tròn đường kính với là . Giao của với là . Dễ thấy .

Ta sẽ chứng minh đồng quy. Gỉa sử cắt tại .Ta có :

Nên bốn điểm đồng viên. Suy ra :

 

Do đó thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn, tức thuộc hay trùng .

Như vậy ta có ngay luôn đi qua điểm cố định.