Number Theory

By

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2004)

Tìm bộ ba các số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn phương trình :

(x+y)(1+xy)=2^z

Lời giải :

Từ phương trình ta được \left\{\begin{matrix} x+y=2^a\\ 1+xy=2^b \end{matrix}\right.(a,b\in \mathbb{N}^*).

Theo định lí Viete thì x,y là hai nghiệm của phương trình :

X^2-2^a.X+2^b-1=0\;\;\;(*)

Để nghiệm của (*) nguyên thì biệt thức \Delta '=2^{2a-2}-2^b+1 phải là một số chính phương. Ta đặt:

2^{2a-2}-2^b+1=k^2\;\;(k\in \mathbb{N})\;\;(**)

  • Nếu 2^{b}\geq 2^{2a-2}. Ta cũng có 2^{2a}=(x+y)^2\geq 4xy=4(2^b-1)\Rightarrow 2^{2a}+1\geq 2^b.

Như vậy thì 2^{2a-2}\leq 2^{b}\leq 2^{2a-2}+1.

Khi 2^{b}=2^{2a-2} thì k=1. Khi ấy (*) có nghiệm X=2^{a-1}\pm 1. Từ đó (x,y)=(2^{a-1}-1,2^{a-1}+1),(2^{a-1}+1,2^{a-1}-1). Thế vào phương trình ban đầu tìm được z=3a-2.

Khi 2^{b}=2^{2a-2}+1, không mấy khó khăn ta tìm được (a,b)=(1,1). Từ đó thu được bộ (x,y,z)=(1,1,2).

  • Nếu 2^{b}< 2^{2a-2} thì viết (**) dưới dạng :

2^b(2^{2a-b-2}-1)=(k-1)(k+1)

Trường hợp a=1 hoặc b=1 đơn giản, cũng cho bộ (x,y,z)=(1,1,2). Ta chỉ xét a,b>1.

Khi đó dễ thấy k lẻ, từ đó kéo theo \gcd(k-1,k+1)=2.

Suy ra trong hai số k-1,k+1 sẽ có một số chia hết cho 2^{b-1}. Ta giả sử :

k=2^{b-1}m+\epsilon \;\;(\epsilon =\pm 1)

Thay ngược vào (**) :

2^b(2^{2a-b-2}-1)=k^2-1=2^{2b-2}m^2+2^bm\epsilon \Rightarrow 2^{2a-b-2}-1=2^{b-2}m^2+m\epsilon

Nhận thấy rằng có

(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow 2^b\geq 2^a\Rightarrow b\geq a.

Nếu b=a thì x=1 hoặc y=1. Ta tìm được bộ :

(x,y,z)=(1,2^a-1,2a),(2^a-1,1,2a)

Nếu b>a thì b-2>2a-b-2. Ta tiếp tục lập luận :

-m\epsilon -1=2^{b-2}m^2-2^{2a-b-2}=2^{2a-b-2}(2^{2b-2a}m^2-1)\geq m^2-1\Rightarrow m^2\pm m\leq 0

Các giá trị tìm được của m đều mâu thuẫn vì m nguyên dương.

Tổng hợp lại các kết quả, ta kết luận đáp số bài toán là :

(x,y,z)=(2^a-1,1,2a),(1,2^a-1,2a),(2^a-1,2^a+1,3a-2),(2^a+1,2^a-1,3a-2)

Trong đó a là số nguyên dương tùy ý.

2 thoughts on “Number Theory”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên | Juliel Sedthawut 's Blog

Leave a comment