Functional Equation

By

Bài toán : Tìm hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R} và thỏa mãn :

\left\{\begin{matrix} f(1)=\dfrac{5}{2}\\ f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n),\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1) \end{matrix}\right.

Lời giải :

Trong (1) cho n=0,m=1 ta được :

f(1)f(0)=2f(1)\Rightarrow f(0)=2

Trong (1) cho n=1 ta được :

f(1)f(m)=f(m+1)+f(m-1),\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\Rightarrow f(m+1)+f(m-1)=\dfrac{5}{2}f(m),\;\;\forall m\in \mathbb{Z}

Lấy m=1 được f(2)=\dfrac{5}{2}f(1)-f(0)=\dfrac{17}{4}

Lấy m=2 được f(3)=\dfrac{5}{2}f(2)-f(1)=\dfrac{65}{8}

Dự đoán :

f(n)=\dfrac{4^n+1}{2^n},\;\forall n\in \mathbb{Z}.

Gỉa sử f(k)=\dfrac{4^k+1}{2^k},\;\forall k=0,1,2,...,n

Ta có :

f(k+1)=\dfrac{5}{2}f(k)-f(k-1)=\dfrac{5}{2}.\dfrac{4^k+1}{2^k}-\dfrac{4^{k-1}+1}{2^{k-1}}=\dfrac{5.4^k+5-4.4^{k-1}-4}{2^{k+1}}=\dfrac{4^{k+1}+1}{2^{k+1}}

Theo nguyên lí quy nạp ta được f(n)=\dfrac{4^n+1}{2^n},\;\forall n\in \mathbb{N}

Trong (1) cho m=0 được f(0)f(n)=f(n)+f(-n),\;\forall n\in \mathbb{Z}\Rightarrow f(n)=f(-n),\;\forall n\in \mathbb{Z}

Do vậy :

f(-n)=f(n)=\dfrac{4^n+1}{2^n}=\dfrac{4^{-n}+1}{2^{-n}},\;\forall n\in \mathbb{N}

Kết luận : Hàm số cần tìm là f(n)=\dfrac{4^n+1}{2^n},\;\forall n\in \mathbb{Z}

One thought on “Functional Equation”

  1. Pingback: Phương trình hàm trên tập rời rạc | Juliel's Blog

Leave a comment