Functional Equation

Bài toán : (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2013)

Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thỏa mãn các điều kiện sau :

$\left\{\begin{matrix} f(1)=1\\ f(n+3)\leq f(n)+3\\ f(n+2012)\geq f(n)+2012 \end{matrix}\right.\forall n\in \mathbb{Z}$

Tính giá trị $f(2013)$

Lời giải :

Ta có $f(n+2013)\leq f(n+2010)+3\leq ...\leq f(n+3)+2010\leq f(n)+2013$

Lại có $f(n)+2012\leq f(n+2012)$ nên $f(n+2013)\leq f(n)+2013\leq f(n+2012)+1\Leftrightarrow f(n+1)\leq f(n)+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

Áp dụng kết quả này thì :

$f(n+2012)\leq f(n+2011)+1\leq ...\leq f(n)+2012$

Mà theo đề bài $f(n+2012)\geq f(n)+2012$

Do vậy ta phải có $f(n+2012)= f(n)+2012$

Kết luận : $f(2013)=2013$

Huy Cao's Blog