Diophantine Equation

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình

$(x^2+y^2)(u^2+v^2+w^2)=2009^n$

luôn có nghiệm nguyên.

Lời giải :

Kí hiệu $(x_k,y_k,u_k,v_k,w_k)$ là một nghiệm nguyên của phương trình nói trên tại $n=k$ .

Nếu $n=1$ thì phương trình có nghiệm $\left ( x_1,y_1,u_1,v_1,w_1 \right )=\left ( 5,4,2,3,6 \right )$

Nếu $n=2$ thì phương trình có nghiệm $(x_2,y_2,u_2,v_2,w_2)=(40,9,48,9,4)$

Gỉa sử phương trình trên có nghiệm tại $n$ là $(x_n,y_n,u_n,v_n,w_n)$ , đặt $x_{n+2}=41x_n,y_{n+2}=41y_n,u_{n+2}=49u_n,v_{n+2}=49v_n,w_{n+2}=49w_n$ khi đó $(x_{n+2},y_{n+2},u_{n+2},v_{n+2},w_{n+2})$ cũng là một nghiệm của phương trình

Bởi vì :

$\left ( x_{n+2}^2+y_{n+2}^2 \right )\left ( u_{n+2}^2+v_{n+2}^2+w_{n+2}^2 \right )=41^{2}\left ( x_n^2+y_n^2 \right ).49^{2}\left ( u_n^2+v_n^2+w_n^2 \right )=(41.49)^2.2009^n=2009^{n+2}$