[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Cho $k$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2=z^{2k+1}+z$ có vô số nghiệm nguyên dương mà $(x,y,z)=1$ .

Lời giải :

Chọn $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$ . Khi đó theo định lí $Fermat-Euler$ , ta có : $p=m^2+n^2\;\;,\left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$

Chọn $z=p$ và áp dụng hằng đẳng thức $Lagrange$ :

$p^{2k+1}+p=p(p^{2k}+1)=(m^2+n^2)(p^{2k}+1)=(m.p^{2k}+n)^2+(m-n^2.p^{2k})^2$

Chọn $x=m.p^{2k}+n,y=m-n^2.p^{2k}$ thì phương trình đã cho có một họ nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=(m.(m^2+n^2)^{2k}+n,m-n.(m^2+n^2)^{2k},m^2+n^2)}$ với $p=m^2+n^2$ là một số nguyên tố. Ta hoàn toàn chứng minh được có vô số nguyên tố dạng $4k+1$ và dễ dàng thấy được lúc này $(x,y,z)=1$ . Từ đó có điều phải chứng minh