[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên, Định lí phần dư Trung Hoa

By

Bài toán : Chứng minh rằng nếu p_1,p_2,....,p_n là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n} có vô số nghiệm nguyên dương (x_1,x_2,....,x_n)

Lời giải :

Ta có đẳng thức hiển nhiên sau : \underset{n-1}{\underbrace{(n-1)^k+(n-1)^k+....+(n-1)^k}}=(n-1)^{k+1}

Khi đó ta chọn x_1=(n-1)^{\frac{k}{p_1}},x_2=(n-1)^{\frac{k}{p_2}},...,x_{n-1}=(n-1)^{\frac{k}{p_{n-1}}},x_n=(n-1)^{\frac{k+1}{p_n}}

Thì ta thu được ngay phương trình x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}

Vậy nếu ta chỉ ra được số nguyên dương k sao cho x_1,x_2,...,x_n đều nguyên thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Mà điều này tương đương với hệ sau có nghiệm : \left\{\begin{matrix} k\equiv 0\;(mod\;p_1)\\ k\equiv 0\;(mod\;p_2)\\ ....\\ k\equiv 0\;(mod\;p_{n-1})\\ k\equiv -1\;(mod\;p_n) \end{matrix}\right.

Điều này luôn đúng theo định lí phần dư Trung Hoa vì p_1,p_2,...,p_n là các số nguyên tố phân biệt.

2 thoughts on “[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên, Định lí phần dư Trung Hoa”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên | Juliel's Blog

Leave a comment