[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hoàng Lệ Kha tỉnh Tây Ninh) : Tìm hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{3b}=b^{2a^2}$

Lời giải :

Dễ thấy cặp $(1,1)$ thỏa mãn. Xét $a,b\geq 2$ .

Trường hợp 1 : Nếu $4a^2\geq 3b$

Ta có $a^{3b}=b^{2a^2}\Leftrightarrow a^{6b}=b^{4a^2}\Leftrightarrow \left ( \dfrac{a^2}{b} \right )^{3b}=b^{4a^2-3b}\in \mathbb{Z}\Rightarrow b\mid a^2$ .

Đặt $a^2=bt\;\;(t\in \mathbb{N}^*)$

Khi đó $a^{3b}=b^{2a^2}\Leftrightarrow a^{6b}=b^{4a^2}\Leftrightarrow (bt)^{3b}=b^{4bt}\Leftrightarrow (bt)^3=b^{4t}\Leftrightarrow b^{4t-3}=t^3$

Trước hết ta chứng minh $2^{4t-3}>t^3\qquad(*)$ bằng quy nạp

Thật vậy, giả sử $(*)$ đúng với $t$ , xét với $t+1$ thì $2^{4(t+1)-3}=2^{(4t-3)}.16>16t^3=t^3+3t^3+3t^3+9t^3>t^3+3t^2+3t+1=(t+1)^3$

Mặt khác $b\geq 2$ nên $b^{4t-3}\geq 2^{4t-3}>t^3$

Trường hợp này phương trình không có nghiệm nguyên

Trường hợp 2 : Nếu $4a^{2}< 3b$

Ta có $a^{3b}=b^{2a^2}\Leftrightarrow a^{3b-4a^2}=\left ( \dfrac{b}{a^2} \right )^{2a^2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow a^2\mid b$

Đặt $b=ka^2\;\;(k\in \mathbb{N}^{*})$ thì $a^{3b}=b^{2a^2}\Leftrightarrow a^{\frac{3b}{a^2}}=b^2\Leftrightarrow a^{3k}=b^{2}=k^2a^4$

Với $k=1$ thì $b=a^2$ , mâu thuẫn với điều kiện $4a^2<3b$ , do đó $k\geq 2$

Suy ra $a^{3k-4}=k^2$ mà $a\geq 2\Rightarrow k^{2}\geq 2^{3k-4}$ . Mặt khác ta chứng minh được bằng quy nạp rằng với $k>3$ thì $2^{3k-4}>k^2$ , suy ra $k=2$ .