[Bài toán] Cấp của một số nguyên

By

Bài toán : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn n\mid 2^n-1.

Lời giải :

Ta thấy n=1 thỏa mãn. Xét n>1. Gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n.

Theo đề bài ta có 2^{n}\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow ord_p(2)\mid n.

Theo định lí Fermat nhỏ thì 2^{p-1}\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow ord_p(2)\mid p-1\Rightarrow p>p-1>ord_p(2)

Ta gọi q là ước nguyên tố của ord_p(2), ta thấy q\mid n và p>q. Điều này mâu thuẫn vì p là ước nguyên tố bé nhất của n. Trường hợp này không tìm được n thỏa đề.

Kết luận : Có duy nhất số nguyên dương thỏa mãn đề bài là \boxed{n=1}

One thought on “[Bài toán] Cấp của một số nguyên”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên | Juliel's Blog

Leave a comment