[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $x^{4}-1=(2y+1)^3$ không có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Đặt $x^{2}=a\in \mathbb{Z}^{+},2y+1=b\in \mathbb{Z}^{+}$ , ta được

$a^{2}-b^{3}=1\Leftrightarrow (a-1)(a+1)=b^3$ .

Dễ thấy $a$ chẵn nên $gcd(a-1,a+1)=1$ , suy ra $a-1,a+1$ đều là những lập phương đúng của một số nguyên.

Gỉa sử $a-1=m^3,a+1=n^3\;\;(m,n\in \mathbb{Z})$ . Ta được :

$n^{3}-m^3=2\Rightarrow (n-m)(n^2+mn+m^2)=2\Rightarrow (m,n)=(-1,1)\Rightarrow a=0$ . Vô lí.

Kết luận: Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Huy Cao's Blog