The limit of the sequence

Bài toán : Gỉa sử $(a_n)$ là một dãy số mà các số hạng đều lớn hơn $1$ và thoả mãn điều kiện $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{1}{n}\ln(\ln a_n)< \ln2$ . Xét dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$x_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+...+\sqrt{a_n}}},\;\forall n\in \mathbb{N}^*$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ.

Lời giải :

Dễ thấy $(x_n)$ là một dãy tăng.

Từ giả thiết ta suy ra tồn tại một giá trị $n_0$ nào đó mà :

$\dfrac{1}{n}\ln(\ln a_n)< \ln2,\;\forall n> n_0\Leftrightarrow \ln a_n< e^{n\ln2}=2^n,\;\forall n> n_0\Leftrightarrow a_n< e^{2^n},\;\forall n> n_0$

Suy ra :

$x_n\leq \sqrt{a_1+\sqrt{a_2+...+\sqrt{a_{n_0}+\sqrt{a_{n_0+1}+...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}}}$

Chú ý là :

$\sqrt{a_{n_0}+\sqrt{a_{n_0+1}+...+\sqrt{a_n}}}\leq \sqrt{e^{2^{n_0}}+\sqrt{e^{2^{n_0+1}}+...+\sqrt{e^{2^n}}}}=e\underset{n-n_0\;times}{\underbrace{\sqrt{1+\sqrt{1+..+\sqrt{1+\sqrt{2}}}}}}$