Inequality

By

Bài toán (Vasile Cirtoaje)

Cho các số dương a,b,c,d,e thoả mãn a+b+c+d+e=5. Chứng minh :

9\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{e}\right )\geq 5+7(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)

Lời giải :

Bổ đề  (Võ Quốc Bá Cẩn)

Cho n số thực x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n. Đặt :

x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2

với t\geq 0. Khi đó ta có :

1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}

Chứng minh bổ đề :

Ta áp dụng Cauchy-Schwarz :

n+n(n-1)t=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq x_1^2+\dfrac{(x_2+x_3+...+x_n)^2}{n-1}=x_1^2+\dfrac{(n-x_1)^2}{n-1}

Giải bất phương trình bậc hai biến x_1 ta được :

1-(n-1)t\leq x_1\leq 1+(n-1)t

Vì các biến vai trò như nhau nên ta được 1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}. Bổ đề được chứng minh.

Chú ý trong trường hợp các số x_i không âm thì ta có 0\leq t \leq 1.

Quay trở lại với bài toán.

Đặt a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5+20t^2\;\;(t\geq 0). Ở đây thì 0\leq t <1. Chú ý khi t=0 thì a=b=c=d=e=1 và bất đẳng thức đúng. Ta xét 0<t<1.

Theo bổ đề trên thì ta có :

a\leq 1+4t

Và như vậy ta sẽ tách :

\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{1+4t}+\dfrac{4t+1-a}{a(1+4t)}

Vì vậy ta đi chứng minh :

9\left ( \dfrac{1}{1+4t}\underset{a,b,c}{\sum} \dfrac{1+4t-a}{a} +\dfrac{5}{1+4t}\right )\geq 5+7\left ( 5+20t^2 \right )

Hơn nữa chú ý theo bổ đề ta cũng có 1+4t-a,1+4t-b,1+4t-c,1+4t-d,1+4t-e \geq 0 nên sử dụng Cauchy-Schwarz :

\underset{a,b,c}{\sum }\dfrac{1+4t-a}{a}\geq \dfrac{(5+20t-(a+b+c+d+e))^2}{\underset{a,b,c}{\sum} a(1+4t-a)}=\dfrac{400t^2}{(1+4t)(a+b+c+d+e)-(a^2+b^2+c^2+d^2)}=\dfrac{400t^2}{20t-20t^2}=\dfrac{20t}{1-t}

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :

9\left ( \dfrac{1}{1+4t}.\dfrac{20t}{1-t}+\dfrac{5}{1+4t} \right )\geq 5+7(5+20t^2)\Leftrightarrow \Leftrightarrow 9\left ( \dfrac{4t}{(1-t)(1+4t)} +\dfrac{1}{1+4t}\right )\geq 1+7(1+4t^2)\Leftrightarrow (2t-1)^2(28t^2+7t+)\geq 0

Điều này hiển nhiên đúng. 

 

Bổ đề được nêu trong bài là một kết quả quan trọng, đặc biệt hữu hiệu với những bất đẳng thức n biến mà dấu bằng đạt được tại n-1 biến bằng nhau.

 

Leave a comment