Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a\mid b^2+2$ và $b\mid a^2+2$ . Chứng minh rằng $a,b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ được xác định bởi :

$v_1=v_2=1$ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2},\;\forall n\geq 2$

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh :

$b\mid a^2+2\;\wedge a\mid b^2+2\Leftrightarrow ab\mid a^2+b^2+2$

Thực vậy, ta có :

$b\mid a^2+2\;\wedge a\mid b^2+2\Rightarrow ab\mid (a^2+2)(b^2+2)\Rightarrow ab\mid 2(a^2+b^2+2)$

Do $a,b$ lẻ nên $ab\mid a^2+b^2+2$ .

Ngược lại nếu có $ab\mid a^2+b^2+2$ thì dễ dàng suy ra ngay được $b\mid a^2+2$ và $a\mid b^2+2$ .

Từ đó giả thiết đề bài tương đương với việc tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho :

$a^2+b^2+2=kab$ .

Ta chứng minh $k=4$ bằng Vieta Jumping. Cố định $k$ và xét tập :

$S=\left \{ a,b\in \left ( \mathbb{Z}^+ \right )^2 |\;k=\dfrac{a^2+b^2+2}{ab}\in \mathbb{N}^* \right \}$

Trong $S$ ta chọn ra cặp $(A,B)$ mà tổng $A+B$ là nhỏ nhất. Không giảm tổng quát, ta giả sử $A\geq B$ .

Xét phương trình bậc hai ẩn $t$ :

$t^2-ktB+B^2+2=0$

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là $A$ , gọi nghiệm còn lại là $t_0$ . Theo định lí Viete :

$\left\{\begin{matrix} t_0+A=kB\\ t_0A=B^2+2 \end{matrix}\right.$

Từ đây suy ra được $t_0$ nguyên dương. Chú ý vì $A+B$ là nhỏ nhất nên ta được $t_0\geq A$ .

Suy ra $t_0+A=kB\geq 2A$ hay $\dfrac{A}{B}\leq \dfrac{k}{2}$ .

Nếu có một trong hai số $a,b$ bằng $1$ , giả sử $b=1$ thì $ka=a^2+3$ , dễ suy ra $k=4$ .

Nếu cả hai số $a,b\geq 2$ . Ta có $A\geq B\geq 2$ . Thì :

$k=\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}+\dfrac{2}{AB}\leq \dfrac{k}{2}+1+\dfrac{2}{2.2}\Leftrightarrow k\leq 3$

Lại theo AM-GM :

$kab=a^2+b^2+2\geq 2(ab+1)\Rightarrow k\geq 3$

Ta được $k=3$ .

Lúc này :

$A^2+B^2+2=3AB$

Từ đẳng thức này dễ dàng suy ra phải có một trong hai số chia hết cho $3$ , giả sử $3\mid A$ thì $A\geq 3$ .

Nếu $B=1$ ta gặp mâu thuẫn, do đó $B\geq 2$ . Tức $AB\geq 6$ .

Nhưng lúc này :

$3=\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}+\dfrac{2}{AB}\leq \dfrac{3}{2}+1+\dfrac{2}{6}$

Điều này vô lí. Vậy $k=4$ là giá trị duy nhất cần tìm.

Ta chứng minh xong việc các số $a,b$ thỏa giả thiết thì cũng phải thỏa mãn phương trình :

$a^2+b^2+2=4ab\;\;\;(1)$ .

Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ rằng nếu cặp $(a,b)$ bất kỳ thỏa mãn $(1)$ thì sẽ luôn tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $a=x_n,b=x_{n+1}$ .

Gỉa sử $(u_0,u_1)$ là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa $(1)$ . Ta hoàn toàn có quyền giả sử $u_0 > u_1$ .Nếu $u_0=1$ thì $u_1=1$ , tức tồn tại $n=1$ để $u_0=v_1,u_1=v_2$ . Tương tự khi xét $u_1=1$ . Do đó ta chỉ cần xét $u_0,u_1 >1$ .