Number Theory

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2008)

Cho $a$ là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $4(a^n+1)$ là một lập phương đúng. Chứng minh $a=1$ .

Lời giải :

Ta có $4(a^3+1),4(a^9+1)$ đều là lập phương đúng. Chú ý vì :

$4(a^9+1)=4(a^3+1)(a^6-a^3+1)$

Suy ra $a^6-a^3+1$ là một lập phương đúng. Đặt :

$a^6-a^3+1=t^3\;\;\;(t\in \mathbb{N})$

Chú ý nếu mà $a>1$ thì :

$(a^2-1)^3< a^6-a^3+1< (a^2)^3$

Mâu thuẫn với việc $a^6-a^3+1$ là một lập phương đúng. Như vậy $a=1$ , ta có điều cần chứng minh.

Huy Cao's Blog