Phương pháp Vieta Jumping

By

Bài toán (CĐT VMO Bình Định 2013-2014) : Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn \dfrac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in \mathbb{Z}. Chứng minh rằng a=b

Lời giải :

Vì gcd(ab,5ab-1)=1 nên ta có \dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}. Đặt \dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=k\in \mathbb{Z}.

Dễ dàng có 5(a^2+b^2)-2\geq 10ab-2>5ab-1\Rightarrow k=\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}>1\Rightarrow k\geq 2.

Xét tập S=\left \{ (a,b)\in \mathbb{Z}^{+}\times \mathbb{Z}^{+} \mid k=\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}\right \}

Cố định k và trong các phần tử của S, ta chọn ra cặp số (A,B) nguyên dương thỏa mãn tổng A+B nhỏ nhất. Gỉa sử A\neq B, không mất tính tổng quát, xét A>B.

Xét phương trình bậc hai ẩn x :

\dfrac{5x^2+5B^2-2}{5xB-1}=k\Leftrightarrow 5x^2-5xBk+5B^2+k-2=0

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là A, gọi nghiệm còn lại là x_0. Theo định lí Viete, ta có :

\left\{\begin{matrix} A+x_0=Bk & (1)& \\ Ax_0=\dfrac{5B^2+k-2}{5}& (2) & \end{matrix}\right.

Từ (1) ta có x_0 nguyên. Nếu x_0<0 thì x_{0}\leq -1\Rightarrow 5x_0^2-5x_0Bk+5B^2+k-2\geq 5+5Bk+5B^2+k-2>0. Mâu thuẫn. Nếu x_0>0 thì (x_0,B)\in S.

Khi đó do tính nhỏ nhất của tổng A+B mà ta có x_0\geq A\Rightarrow \dfrac{5B^2+k-2}{5A}\geq A\Leftrightarrow \dfrac{5A^2+5B^2-2}{5AB-1}-2\geq 5(A-B)(A+B)\Leftrightarrow \dfrac{5(A-B)^2}{5AB-1}\geq 5(A-B)(A+B)\Leftrightarrow A-B\geq (A+B)(5AB-1).

Rõ ràng điều này vô lí.

Như vậy phải có x_0=0, suy ra 5B^2=2-k\geq 0, lại có k\geq 2, do đó k=2.

Suy ra \dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=2\Leftrightarrow (a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b. Đây là điều phải chứng minh.

8 thoughts on “Phương pháp Vieta Jumping”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán số học | Juliel's Blog

  4. bạn có thể vô diễn đàn Mathscope : forum.mathscope.org để tải chuyên đề số học của diễn đàn về, phần I của diễn đàn có viết về phương pháp VietaJumping, trong đó có bài toán này

    Reply

Leave a comment