[Bài toán] Vieta Jumping, Số chính phương

By

Bài toán : Cho a,b,k là các số nguyên dương thỏa mãn k=\dfrac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab+1}. Chứng minh rằng k là một số chính phương.

Lời giải :

Cố định k và xét tập S=\left \{ (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}|k=\dfrac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab+1} \right \}

Gỉa sử k không là số chính phương.

Trong các phần tử của S ta chọn ra cặp (A,B) thỏa mãn A+B nhỏ nhất. Không mất tính tổng quát, ta giả sử A>B>0

Xét phương trình bậc hai ẩn x :

k=\dfrac{x^{2}+xB+B^{2}}{xB+1}\Leftrightarrow x^{2}+(B-kB)x+B^{2}-k=0

Phương trình này hiển nhiên có hai nghiệm là A và x_0.

Theo định lí Viete :

\left\{\begin{matrix} x_0+A=kB-B & (1)& \\ x_0.A=B^{2}-k& (2)& \end{matrix}\right.

Từ (1) ta có x_0 là số nguyên.

Nếu x_0<0 thì x_{0}\leq -1\Rightarrow x^{2}-(Bk-B)x+B^2-k\geq x^{2}+(Bk-B)+B^2-k>0. Mâu thuẫn

Nếu x_0=0 thì k=B^2 là một số chính phương (loại)

Nếu x_0>0 thì \left ( x_{0},B \right )\in S.

Từ đó :

x_{0}+B=\dfrac{B^{2}-k}{A}+B<\dfrac{B^{2}}{A}+B<\dfrac{A^{2}}{A}+B=A+B

Mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của tổng A+B.

Như vậy giả thiết phản chứng là sai, từ đó ta có k phải là một số chính phương.

One thought on “[Bài toán] Vieta Jumping, Số chính phương”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán số học | Đình Huy (Juliel)

Leave a comment