[Bài toán] Sự chia hết

Bài toán : (Baltic Mathematics Competition 2002) Cho $n\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho ước số nguyên tố của $n^6-1$ cũng là ước số của $(n^3-1)(n^2-1)$ . Chứng minh rằng $n=2$ .

Lời giải :

Ta có $(n^{3}-1)(n^{2}-1)=(n-1)^{2}(n+1)(n^{2}+n+1)$

Gọi $d=gcd(n^{2}-n+1,n-1)\Rightarrow d|n^{2}-n+1-n(n-1)\Rightarrow d|1\Rightarrow d=1$
Gọi $e=gcd(n^2-n+1.n^2+n+1)$ , dễ thấy $e$ lẻ.

Ta có $e|(n^{2}-n+1)-(n^{2}-n+1)\Rightarrow e|2n\Rightarrow e|n\Rightarrow e|(n^{2}-n+1)-n(n-1)\Rightarrow e|1\Rightarrow e=1$

Gọi $f=gcd(n^2-n+1,n+1)$ , $f$ lẻ.

Ta có $f|n^{2}-n+1-n(n+1)\Rightarrow f|1-2n\Rightarrow f|(1-2n)+2(n+1)\Rightarrow f|3\Rightarrow f\in \left \{ 1,3 \right \}$ ( $f$ lẻ)

+) Nếu $f=3$ ta có $3|n+1\Rightarrow n=3k+2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^{2}-n+1=(3k+2)^{2}-(3k+2)+1=3(3k^2+3k+1) & & \\ n+1=3(k+1)& & \end{matrix}\right.$

Trong đó $k$ là số tự nhiên

Theo giả thiết mọi ước nguyên tố của $n^6-1$ đều là ước của $(n^3-1)(n^2-1)$ , nên mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1$ đều là ước của $(n^3-1)(n^2-1)=(n-1)^2.(n+1)(n^2+n+1)$ , nhưng $n^2-n+1$ nguyên tố cùng nhau với $n-1$ và $n^2+n+1$ (chứng minh trên) nên mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1$ là ước của $n+1$

Suy ra mọi ước nguyên tố của $3k^2+3k+1$ là ước của $3(k+1)$ mà dễ chứng minh được $gcd(3k^2+3k+1,k+1)=1$ nên mọi ước nguyên tố của $3k^2+3k+1$ là ước của $3$ . Do vậy nên $3k^{2}+3k+1=3^{x}\qquad(x\in \mathbb{N})$

Nếu $x\geq 1$ thì $3|3^{x}$ nhưng $3\nmid 3k^{2}+3k+1$ , mâu thuẫn. Do đó $x=0$ , ta được $k=0,n=2$ (thỏa mãn)

+) Nếu $f=1$ , ta có $gcd(n^2-n+1,n+1)=1$

Do đó $n^2-n+1$ nguyên tố cùng nhau với mọi ước của $(n^3-1)(n^2-1)$ , gọi $p$ là ước nguyên tố của $n^2-n+1$ thì $p\nmid (n^{3}-1)(n^{2}-1)\qquad(1)$ .