Bài toán [Nguyên lí cực hạn, Phương trình nghiệm nguyên]

By

Bài toán : Cho phương trình \left ( x+y+z \right )^{2}=nxyz với n là số tự nhiên khác không. Tìm n để phương trình có nghiệm nguyên dương

Lời giải :

Gọi \left ( x_{0};y_{0};z_{0} \right ) bộ số thỏa đề sao cho x_{0}+y_{0}+z_{0} nhỏ nhất.

Xét phương trình bậc hai ẩn x :

(x+y_{0}+z_{0})^{2}=nxy_{0}z_{0}\Leftrightarrow x^{2}-(ny_{0}z_{0}-2y_{0}-2z_{0})x_{0}+(y_{0}+z_{0})^{2}=0

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là x_{0}, gọi nghiệm còn lại là x_{1}.

Theo định lí Viete :

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{0}=ny_{0}z_{0}-2y_{0}-2z_{0} & (1)& \\ x_{1}x_{0}=(y_{0}+z_{0})^{2} & (2) & \end{matrix}\right.

Từ (1) có x_{1} nguyên dương, do đó bộ \left ( x_{1};y_{0};z_{0} \right ) cũng thỏa mãn phương trình, mặt khác do tính nhỏ nhất của tổng x_{0}+y_{0}+z_{0} nên x_{1}\geq x_{0}.

Từ (2) : x_{0}^{2}\leq x_{1}x_{0}=(y_{0}+z_{0})^{2}\Rightarrow x_{0}\leq y_{0}+z_{0}

Do đó từ (1) : 2x_{0}\leq x_{1}+x_{0}=ny_{0}z_{0}-2(y_{0}+z_{0})\leq ny_{0}z_{0}-2x_{0}\Rightarrow \frac{x_{0}}{y_{0}z_{0}}\leq \frac{n}{4}

Khai triển vế trái và chia hai vế của phương trình ban đầu cho tích x_{0}y_{0}z_{0} :

\dfrac{x_{0}}{y_{0}z_{0}}+\dfrac{y_{0}}{x_{0}z_{0}}+\dfrac{z_{0}}{x_{0}y_{0}}+\dfrac{2}{x_{0}}+\dfrac{2}{y_{0}}+\dfrac{2}{z_{0}}=n

Bây giờ, ta giả sử x_{0}\geq y_{0}\geq z_{0}>0\Rightarrow x_{0}\geq 3;y_{0}\geq 2;z_{0}\geq 1

Khi đó \dfrac{y_{0}}{z_{0}x_{0}}\leq \dfrac{1}{x_{0}}\leq 1;\dfrac{z_{0}}{x_{0}y_{0}}\leq \dfrac{1}{y_{0}}\leq \dfrac{1}{2}

Suy ra n\leq \dfrac{n}{4}+1+\dfrac{1}{2}+2+2+2\Leftrightarrow n\leq 10

Mà n nguyên dương nên n\in \left \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right \}

  • Nếu n=1 phương trình có nghiệm (9;9;9)
  • Nếu n = 2 phương trình có nghiệm (8;4;4)
  • Nếu n = 3 phương trình có nghiệm (3;3;3)
  • Nếu n = 4 phương trình có nghiệm (4;2;2)
  • Nếu n = 5 phương trình có nghiệm (1;4;5)
  • Nếu n=6 phương trình có nghiệm (1;2;3)
  • Nếu n = 7, phương trình vô nghiệm (chứng minh tại đây )
  • Nếu n=8, phương trình có nghiệm (1;2;1)
  • Nếu n=9 phương trình có nghiệm (1;1;1)
  • Nếu n=10 thì dấu bằng phải xảy ra đồng thời ở các điểm :

\dfrac{2}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{2}{z}=2

\dfrac{x}{yz}=\dfrac{n}{4}=\dfrac{10}{4}

\dfrac{y}{zx}=1;\dfrac{z}{xy}=\dfrac{1}{2}

Dễ thấy không tồn tại các số x,y,z thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.

Kết luận :\boxed{n\in \left \{ 1;2;3;4;5;6;8;9 \right \}}

One thought on “Bài toán [Nguyên lí cực hạn, Phương trình nghiệm nguyên]”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên | Đình Huy (Juliel)

Leave a comment