Bài toán [Số lũy thừa, Nguyên lí cực hạn]

Bài toán : Cho các số nguyên dương $x,y,A$ thỏa mãn hệ thức $A = \dfrac{x^2+y^2+30}{xy}$ . Chứng minh rằng $A$ là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.

Lời giải :

Gọi $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất. Ta giả sử $x_{0}\leq y_{0}$ .

Xét phương trình bậc hai ẩn $y$ :

$y^{2}-A.x_{0}.y+x_{0}^{2}+30=0 (*)$

Vì $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ thỏa mãn đề bài nên $y_{0}$ là một nghiệm của phương trình $(*)$ . Gọi nghiệm còn lại là $y_{1}$ . Theo định lí $Viete$ :

$\left\{\begin{matrix} y_{0}+y_{1}=Ax_{0} & (1)& \\ y_{0}y_{1}=x_{0}^{2} +30& (2) & \end{matrix}\right.$

Ta có $x_{0},y_{0},A\in \mathbb{Z}$ nên từ $(1)$ suy ra $y_{1}\in \mathbb{Z}$ .

Các cặp $\left ( x_{0};y_{0} \right );\left ( x_{0};y_{1} \right )$ đều thỏa mãn $(*)$ mà $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất nên :

$x_{0}+y_{0} \leq x_{0}+y_{1}\Leftrightarrow y_{0}\leq y_{1}$ .

Như vậy $x_{0}\leq y_{0}\leq y_{1}$

Trường hợp 1 : $x_{0}=y_{0}$ thay vào $A$ thì $A=2+\dfrac{30}{x_{0}^{2}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x_{0}=1\Rightarrow A=32$
Trường hợp 2 : $y_{0}=y_{1}$ thì từ $(2)$ ta được :

$x_{0}^{2}+30=y_{0}^{2}\Leftrightarrow \left ( y_{0}+x_{0} \right )\left ( y_{0}-x_{0} \right )=30$

Dễ thấy $y_{0}+x_{0} ;y_{0}-x_{0}$ cùng tính chẵn lẻ mà $30=1.30=2.15=5.6=3.10$

Trường hợp này không xảy ra

Trường hợp 3 : $x_{0}<y_{0}<y_{1}$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} y_{0}\geq x_{0}+1 & & \\ y_{1}\geq x_{0}+2& & \end{matrix}\right.$

Do đó từ $(2)$ suy ra $x_{0}^{2}+30\geq \left ( x_{0}+1 \right )\left ( x_{0}+2 \right )\Leftrightarrow x_{0}\leq 9$

Khi $x_{0}=9$ thì từ $(2)$ suy ra $y_{0}y_{1}=9^{2}+30=111$ , vì $y_{0}<y_{1}\Rightarrow \left ( y_{0};y_{1} \right )=(1;111);(3;37)$ . Vô lí vì phải có $x_{0}<y_{0}$ .