Inequality

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức :

\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}\leq \left ( a+b+c \right )^{10}\left ( \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{9b}+\dfrac{1}{9c} \right )^9

Lời giải :

Áp dụng BĐT AM-GM :

\dfrac{a^7+b^7}{(a+b)^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}\geq 7\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{(2^6)^6}}=\dfrac{7}{32}\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}

Tức là :

\dfrac{a^7+b^7}{(a+b)^6}+\dfrac{3}{32}(a+b)\geq \dfrac{7}{32}\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}

Ta có :

(a+b)^7=a^7+b^7+7ab(a^5+b^5)+21a^2b^2(a^3+b^3)+35a^3b^3(a+b)=a^7+b^7+7ab\left [ a^5+b^5+3ab(a^3+b^3)+5a^2b^2(a+b) \right ]

Theo AM-GM :

12a^5+9b^5+7a^4b+2ab^4\geq 30\sqrt[30]{(a^5)^{12}.(b^5)^9.(a^4b)^7.(ab^4)^2}=30a^3b

12b^5+9a^5+7b^4a+2ba^4\geq 30\sqrt[30]{(b^5)^{12}.(a^5)^9.(b^4a)^7.(ba^4)^2}=30b^3a

Cộng vế theo vế hai kết quả trên thì được :

7(a^5+b^5)+3ab(a^3+b^3)\geq 10a^2b^2(a+b)

Suy ra :

16(a^5+b^5)+48ab(a^3+b^3)+80a^2b^2(a+b)\geq 9(a^5+b^5)+45ab(a^3+b^3)+90a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow 16\left [ a^5+b^5+3ab(a^3+b^3)+5a^2b^2(a+b) \right ]\geq 9\left [ a^5+b^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b) \right ]\Leftrightarrow a^5+b^5+3ab(a^3+b^3)+5a^2b^2(a+b) \geq \dfrac{9}{16}(a+b)^5

Từ đó ta được :

(a+b)^7\geq a^7+b^7+7ab.\dfrac{9}{16}(a+b)^5\Leftrightarrow \dfrac{a^7+b^7}{(a+b)^6}\leq a+b-\dfrac{63ab}{16(a+b)}

Lại được tiếp :

\dfrac{7}{32}\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}\leq \dfrac{3}{32}(a+b)+(a+b)-\dfrac{63ab}{16(a+b)}=\dfrac{35}{32}(a+b)-\dfrac{63ab}{16(a+b)}\Leftrightarrow \sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}\leq 5(a+b)-\dfrac{18ab}{a+b}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng vế theo vế, ta dẫn đến việc chứng minh :

\left ( a+b+c \right )^{10}\left ( \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{9b} +\dfrac{1}{9c}\right )^9+\dfrac{18ab}{a+b}+\dfrac{18bc}{b+c}+\dfrac{18ca}{c+a}\geq 10(a+b+c)\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^{10}.(ab+bc+ca)^9}{(abc)^9.9^9}+\dfrac{18}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{18}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{18}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\geq 10(a+b+c)

Theo Cauchy-Schwarz :

\dfrac{18}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{18}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{18}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\geq \dfrac{18.9}{2\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}\right )}=\dfrac{81abc}{ab+bc+ca}

Như vậy cần chỉ ra :

\dfrac{(a+b+c)^{10}.(ab+bc+ca)^9}{(abc)^9.9^9}+\dfrac{81abc}{ab+bc+ca}\geq 10(a+b+c)

Nhưng điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM cho 10 số :

\dfrac{(a+b+c)^{10}.(ab+bc+ca)^9}{(abc)^9.9^9}+\dfrac{81abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{(a+b+c)^{10}.(ab+bc+ca)^9}{(abc)^9.9^9}+9.\dfrac{9abc}{ab+bc+ca}\geq 10\sqrt[10]{\dfrac{(a+b+c)^{10}.(ab+bc+ca)^9}{(abc)^9.9^9}.\dfrac{(9abc)^9}{(ab+bc+ca)^9}}=10(a+b+c)

Bài toán hoàn tất.

 

Author : Me 🙂

Leave a comment