Polynomial

Bài toán (Romania 2001)

Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải :

Dễ thấy đa thức hằng thỏa mãn.

Ta có :

$\dfrac{P(x)}{P(2x-1)}=\dfrac{P(x^2)}{P(2x^2-1)}=\dfrac{P(x^4)}{P(2x^4-1)}=...=\dfrac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}$

Hơn nữa ta có :

$\underset{k\rightarrow \rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}=\dfrac{1}{2^n}$

Với $n=degP(x)$ .

Từ đó suy ra :

$2^nP(x)=P(2x-1)\Leftrightarrow 2^nP(x+1)=P(2x+1)$

Đặt $P(x+1)=Q(x)$ ta được :

$2^nQ(x)=Q(2x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0)$

Ta được :

$2^n(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=a_n(2x)^n+a_{n-1}(2x)^{n-1}+...+a_1.2x+a_0,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Đồng nhất hệ số của $x^i,\;\forall i=\overline{0,n-1}$ ta suy ra $a_i=0,\;\forall i=\overline{0,n-1}$

Dẫn đến :

$Q(x)=ax^n,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow P(x)=a(x-1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Như vậy đáp số bài toán là :

$P(x)\equiv const,P(x)=a(x-1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R},a=const,n\in \mathbb{N}^*$

Huy Cao's Blog