Polynomial

By

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

P(x^2-2x)=P^2(x-2),\;\forall x\in \mathbb{R}

Lời giải :

Bổ đề : Nếu P(x) là đa thức thỏa mãn P(x^2)=P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R} thì P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)\equiv x^n,\;\left ( n\in \mathbb{N}^* \right )

Chứng minh bổ đề :

Nếu P(x) đồng nhất hằng số thì ta dễ thấy P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1

Nếu degP(x) \geq 1 thì đặt P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0).

Ta đi chứng minh a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_1=a_0=0. Gỉa sử ngược lại, một trong các số a_i\neq 0,\;\forall i=\overline{0,n-1}.

Gọi k<n là số lớn nhất sao cho a_k\neq 0. Ta có :

P(x^2)=a_nx^{2n}+a_{k}x^{2k}+...+a_1x^2+a_0

P^2(x)=\left ( a_nx^n+a_{k}x^{k}+...a_1x+a_0 \right )^2

Đồng nhất hệ số của x^{n+k} ta có :

2a_na_k=0

Đây là điều mâu thuẫn. Và do đó a_0=a_1=...=a_{n-1}=0. Từ đó dễ dàng chỉ ra được P(x)=x^n,\;\forall x\in \mathbb{R}.

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta có :

P(x^2-2x)=P^2(x-2)\Leftrightarrow P\left [ (x-1)^2-1 \right ]=P^2\left [ (x-1)-1 \right ]

Do vậy nếu ta đặt Q(x)=P(x-1) thì :

Q(x^2)=Q^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}

Theo bổ đề ta được :

P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)=(x+1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R}

One thought on “Polynomial”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment