Polynomial

By

Bài toán (USA MO 1977) 

Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức x^4+x^3-1 là nghiệm của đa thức x^6+x^4+x^3-x^2-1.

Lời giải :

Đặt P(x)=x^4+x^3-1 và Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1.

Gỉa sử P(x) có bốn nghiệm a,b,c,d. Theo định lí Viete ta có abcd=-1.

Ta chứng minh :

Q(ab)=0\Leftrightarrow (ab)^6+(ab)^4+(ab)^3-(ab)^2-1=0\Leftrightarrow (ab)^3+ab+1-\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{(ab)^3}=0\Leftrightarrow (ab)^3+ab+1+cd+(cd)^3=0

Ta có :

P(a)=0\Rightarrow a^3(a+1)=1\Rightarrow a^3=\dfrac{1}{1+a}

Tương tự thì được b^3=\dfrac{1}{1+b}. Hơn nữa ta có :

P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\Rightarrow P(-1)=-1=(-1-a)(-1-b)(-1-c)(-1-d)=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)

Do vậy mà a^3b^3=\dfrac{1}{(1+a)(1+b)}=-(1+c)(1+d). Tương tự c^3d^3=-(1+a)(1+b).

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :

-(1+c)(1+d)+ab+1+cd-(1+a)(1+b)=0\Leftrightarrow a+b+c+d=-1

Điều này luôn đúng theo Viete, ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Polynomial”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment