Polynomial

Bài toán : Cho $n$ số nguyên phân biệt $a_1,a_2,...,a_n$ . Chứng minh rằng đa thức

$P(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$

bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Lời giải :

Gỉa sử rằng $P(x)=A(x)B(x)$ trong đó $A(x),B(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Vì $P(x)> 0\;\forall x$ nên $A(x),B(x)$ cùng dấu với mọi $x$ . Không giảm tổng quát, ta xét $A(x),B(x)>0$ với mọi $x$ .

Ta có :

$P(a_i)=1\Rightarrow A(a_i)B(a_i)=1\Rightarrow A(a_i)=B(a_i)=1$

Do đó ta được :

$A(x)=B(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1$

Thay vào giả thiết ban đầu :

$(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1=\left [ (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1 \right ]^2,\;\forall x\Leftrightarrow (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)=0,\;\forall x$

Và đẳng thức này là không thể có. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Huy Cao's Blog