Functional Equation

By

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} và thỏa mãn

 f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2,\;\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1)

Lời giải :

Trong (1) cho m=0 được :

f(n)+f(-1)=f(0)f(n)+2,\;\forall n\in \mathbb{Z}\Rightarrow f(n)=(1-f(0))=2-f(-1),\;\forall n\in \mathbb{Z}

Nếu 1-f(0)\neq 0 thì f là hàm hằng, không thỏa mãn. Do đó f(0)=1,f(-1)=2.

Trong (1) cho m=-1 ta được :

f(n-1)+f(-n-1)=f(-1)f(n)+2=2f(n)+2,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;(2)

Trong (2) thay n bởi -n ta được :

f(-n-1)+f(n-1)=2f(-n)+2,\;\forall n\in \mathbb{Z}

Suy ra f(n)=f(-n),\;\forall n\in \mathbb{Z}

Từ đó :

f(n+1)+f(n-1)=2f(n)+2,\;\forall n\in \mathbb{Z}

Ta dự đoán rằng f(n)=n^2+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}

Ta chứng minh bằng quy nạp, với n=0 thì hiển nhiên. Gỉa sử f(k)=k^2+1,\;\forall k=0,1,2,...,n

Ta có :

f(n+1)=2f(n)-f(n-1)+2=2(n^2+1)-(n-1)^2-1+2=n^2+2n+2=(n+1)^2+1

Theo nguyên lí quy nạp ta có f(n)=n^2+1,\;\forall n\in \mathbb{N}

Mặt khác ta cũng có f(-n)=f(n)=n^2+1=(-n)^2+1,;\forall n\in \mathbb{N}

Kết luận : Hàm số cần tìm là \boxed{f(n)=n^2+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}}

One thought on “Functional Equation”

  1. Pingback: Phương trình hàm trên tập rời rạc | Juliel's Blog

Leave a comment