Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ nhận $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm một nghiệm. Chứng minh $deg P(x) \geq 6$

Lời giải :

Ta có :

$(x-1-\sqrt{2})^3=3\Rightarrow x^3-3x^2(1-\sqrt{2})+3x\left ( 1-\sqrt{2} \right )^2-(1-\sqrt{2})^3=3\Rightarrow x^3-3x^2+9x-10=(6x-3x^2-5)\sqrt{2}\Rightarrow (x^3-3x^2+9x-10)^2=2(3x^2-6x+5)^2$

Thu gọn, ta được :

$x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50=0$

Ta chứng minh đa thức $H(x)=x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50$ là đa thức có bậc nhỏ nhất mà có nghiệm $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ .

Gỉa sử tồn tại một đa thức $Q(x)$ không đồng nhất $0$ có bậc không lớn hơn $5$ với hệ số nguyên và có nghiệm $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ .

$Q(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$

Ta có :

$Q\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )=0\Leftrightarrow a\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )^5+b\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )^4+c\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )^3+d\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )^2+e\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} \right )+f=0$

Khai triển ta được :

$Q(x)=k_0+k_1\sqrt{2}+k_2\sqrt[3]{3}+k_3\sqrt[3]{9}+k_4\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+k_5\sqrt{2}\sqrt[3]{9}=0$

$(k_i\in \mathbb{Z},\;\forall i=\overline{0,5})$

Từ đây có ngay $k_i=0,\;\forall i=\overline{0,5}$ .

Dẫn đến $Q(x)\equiv 0$ , mâu thuẫn. Do đó $H(x)$ là đa thức có bậc nhé nhất thỏa đề.

Khi đó tất cả các đa thức $P(x)$ cần tìm sẽ có dạng $P(x)=H(x).T(x)$ với $T(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ . Thật vậy, giả sử : $P(x)=H(x).T(x)+R(x)$ với $deg R(x)<deg H(x)$