Functional Equation

Bài toán (Irish MO 1995) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Lời giải :

Đặt $g(x)=f(x)-f(0)$ thì $g(0)=0$ , thay vào phương trình đề bài :

$x\left ( g(x)+f(0) \right )-y\left ( g(y)+f(0) \right )=(x-y)\left ( g(x+y)+f(0) \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Leftrightarrow xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$ .

Trong $(1)$ cho $y=-x$ ta được :

$xg(x)+xg(-x)=2xg(0),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow g(-x)=-g(x),\;\forall x\neq 0$ . Kết hợp $g(0)=0$ ta có $g(-x)=-g(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ , được :

$xg(x)+yg(-y)=(x+y)g(x-y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có

$(x-y)g(x+y)=(x+y)g(x-y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow \dfrac{g(x+y)}{x+y}=\dfrac{g(x-y)}{x-y},\;\forall x\neq y\Rightarrow g(x)=cx,\;\forall x\neq 0$ .