[Bài toán] Phương trình hàm trên N

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} f(2)=2\\ f(mn)=f(m).f(n)\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}\\ f(m)<f(n),\forall m<n \end{matrix}\right.$

Lời giải :

Ta có $f(2)=f(2.1)=f(2).f(1)\Rightarrow f(1)=1$ .

Ta có $2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2).f(2)=4\Rightarrow f(3)=3$

Như vậy ta có $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $f(n)=n,\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Gỉa sử khẳng định trên đúng đến $k\geq 3$ , tức là $f\left ( t \right )=t\;,\forall t\in \mathbb{Z},3 \leq t \leq k$ . Ta cần chứng minh $f\left ( k+1 \right )=k+1$

Nếu $k$ lẻ thì $k+1$ chẵn, ta có $f(k+1)=f\left ( 2 \right ).f\left ( \dfrac{k+1}{2} \right )=2.\dfrac{k+1}{2}=k+1$

Nếu $k$ chẵn thì $f(k+1)<f\left ( k+2 \right )=f\left ( 2 \right ).f\left ( \dfrac{k+2}{2} \right )=2.\dfrac{k+2}{2}=k+2$ . Mặt khác dễ thấy $f(k+1)>f(k)=k$ . Tức là $k<f(k+1)<k+2$ . Vậy phải có $f(k+1)=k+1$