[Bài toán] Phương trình hàm đa thức

By

Bài toán : Tìm đa thức P(x) thỏa mãn \left\{\begin{matrix} P(a+b)=P(a)+7P(b) &(1) & \\ ab(a+b)=2b^3& (2) & \end{matrix}\right.

Lời giải :

Ta sẽ chọn các số a,b có dạng (a,b)=(mx,nx) thỏa (2).

Thay a=mx,b=nx vào (2), ta được : mnx^{3}(m+n)=2n^{3}x^{3}\Rightarrow mn(m+n)=2n^3.

Ta chọn các số m,n đơn giản nhất là (m,n)=(1,1).

Như vậy bộ (a,b)=(x,x) thỏa (2). Thay vào (1), ta được :P(2x)=8P(x)\qquad(*)

Đặt P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i với a_{n}\neq 0. Thay vào (*) :

a_{n}.2^{n}x^n+a_{n-1}.2^{n-1}x^{n-1}+...+a_1.2x+a_0=8a_nx^n+8a_{n-1}x^{n-1}+...+8a_1x+8a_0

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất :

\left\{\begin{matrix} a_n.2^n=8a_n & & \\ a_0=8a_0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=3 & & \\ a_0=0 & & \end{matrix}\right.

Như vậy P(x) có dạng P(x)=px^3+qx^2+rx

Thay vào (*) : 8px^{3}+4qx^{2}+2rx=8px^3+8qx^2+8rx

Đồng nhất hệ số \left\{\begin{matrix} 4q=8q & & \\ 2r=8r& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow q=r=0

Suy ra P(x)=px^{3}\;\;\forall x\in \mathbb{R}.

Thử lại :

P(a+b)=p(a+b)^3=p(a^3+b^3+3ab(a+b))=p(a^3+b^3+3.2b^3)=p(a^3+7b^3)=P(a)+7P(b).

Kết luận : Các đa thức P(x) cần tìm là P(x)=px^{3}\;\;\forall x\in \mathbb{R}, trong đó p\in \mathbb{R}

2 thoughts on “[Bài toán] Phương trình hàm đa thức”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức | Juliel's Blog

  2. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment