[Bài toán] Xác định đa thức

Bài toán : Tìm đa thức với hệ số thực $P(x)$ sao cho

$\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-33}+32 \;\;(*)& \\ P(2005)=2037 & \end{matrix}\right.$ với mọi $x\geq 0$

Lời giải :

Thay $x=2005$ vào $(*)$

$2037=P(2005)=\sqrt{P(2005^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(2005^2+1)-32=2005^2+1\Leftrightarrow P(x_1)=x_1+32\qquad(x_1=2005^2+1)$

Thay $x = x_1$ vào $(*)$ :

$P(x_1)=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow x_1+32=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(x_1^2+1)=(x_1^2+1)+32\Leftrightarrow P(x_2)=x_2+32\qquad(x_2=x_1^2+1)$

Như vậy các số hạng của dãy $\left\{\begin{matrix} x_1=2005 & & \\ x_n^2=x_{n-1}^2+1& & \end{matrix}\right.$ đều là nghiệm của $Q(x)$ , dễ thấy $x_1<x_2<...<x_n<...$ và dãy trên có vô số số hạng nên $Q(x)$ có vô hạn nghiệm.