[Bài toán] Tìm cực trị của đa thức, công thức nội suy Lagrange

By

Bài toán : Cho đa thức f(x)=ax^2+bx+c thỏa mãn điều kiện \left | f(-1) \right |\leq 1,\left | f(0) \right |\leq 1,\left | f(1) \right |\leq 1. Tìm giá trị lớn nhất của \left | f(x) \right |\;\forall x\in \left [ -1;1 \right ].

Lời giải :

Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho f(x) với ba số thực -1,0,1 ta được :

f(x)=f(-1).\dfrac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}+f(0).\dfrac{(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}+f(1).\dfrac{(x-0)(x+1)}{(1-0)(1+1)}=f(-1).\dfrac{x(x-1)}{2}+f(0).(1-x^{2})+f(1).\dfrac{x(x+1)}{2}

Do đó :

\left | f(x) \right |\leq \left | f(-1) \right |.\left | \dfrac{x(x-1)}{2} \right |+\left | f(0) \right |.\left | x^{2}-1 \right |+\left | f(1) \right |.\left | \dfrac{x(x+1)}{2} \right |\leq \left | \dfrac{x(x-1)}{2} \right |+\left | x^{2}-1 \right |+\left | \dfrac{x(x+1)}{2} \right |=g(x)

Xét -1\leq x\leq 0 :

f(x)\leq g(x) =\dfrac{x(x-1)}{2}+1-x^{2}-\dfrac{x(x+1)}{2}=-\left ( x+\dfrac{1}{2} \right )^{2}+\frac{5}{4}\leq \dfrac{5}{4}

Đẳng thức xảy ra khi x=-\dfrac{1}{2}\in \left [ -1;1 \right ]

Xét 0\leq x\leq 1 :

f(x)\leq g(x)=\dfrac{x(1-x)}{2}+1-x^{2}+\dfrac{x(x+1)}{2}=-\left ( x-\dfrac{1}{2} \right )^{2}+\dfrac{5}{4}\leq \dfrac{5}{4}

Đẳng thức xảy ra khi x=\dfrac{1}{2}\in \left [ -1;1 \right ]

Kết luận : Max\;f(x)=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{2}

One thought on “[Bài toán] Tìm cực trị của đa thức, công thức nội suy Lagrange”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment